^ 1.01.11.2Jackson, John David, Classical Electrodynamic 3rd., USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 111, 145–151, 1999, ISBN 978-0-471-30932-1 引文格式1维护:冗余文本 (link)
^Ross D. Adamson. The Fast Multipole Method. January 21, 1999 [December 10, 2010]. (原始内容于2011-06-03).
一月 19, 2024
多極展開, 在物理學裏, 方法廣泛應用於涉及於質量分佈產生的重力場, 電荷分佈產生的電勢或電場, 電流分佈產生的磁向量勢和磁場, 電磁波的傳播等等問題, 使用, 重力場或電勢等等, 都可以表達為單極項, 偶極項, 四極項, 八極項等等的疊加, 一個典型範例是, 從原子核的外部多極矩與電子軌域的內部多極矩之間的交互作用能量, 計算求得原子的原子核外多極矩, 由於從原子核的外多極矩可以給出原子核內部的電荷分佈, 物理學者可以研究原子核的形狀, 做理論運算時, 在允許誤差範圍內, 時常可以只取的最低階的幾個非零項目, 忽. 在物理學裏 多極展開方法廣泛應用於涉及於質量分佈產生的重力場 電荷分佈產生的電勢或電場 電流分佈產生的磁向量勢和磁場 電磁波的傳播等等問題 使用多極展開 重力場或電勢等等 都可以表達為單極項 偶極項 四極項 八極項等等的疊加 一個典型範例是 從原子核的外部多極矩與電子軌域的內部多極矩之間的交互作用能量 計算求得原子的原子核外多極矩 由於從原子核的外多極矩可以給出原子核內部的電荷分佈 物理學者可以研究原子核的形狀 做理論運算時 在允許誤差範圍內 時常可以只取多極展開的最低階的幾個非零項目 忽略其它項目 因為它們的數值超小 目录 1 電勢的多極展開式 1 1 笛卡兒多極展開 1 2 球多極展開 1 3 多極展開式的特性 2 電能的多極展開式 3 磁向量勢的多極展開式 4 數值模擬 5 參閱 6 參考文獻電勢的多極展開式 编辑 nbsp 給予在源位置 r displaystyle mathbf r nbsp 的電荷分佈或電流分佈 計算在場位置 r displaystyle mathbf r nbsp 產生的電勢或磁向量勢 在靜電學裏 設定電荷密度分佈 r r displaystyle rho mathbf r nbsp 則其產生的電勢 F r displaystyle Phi mathbf r nbsp 為 F r 1 4 p ϵ 0 V r r r r d 3 r displaystyle Phi mathbf r frac 1 4 pi epsilon 0 int mathbb V frac rho mathbf r mathbf r mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 其中 r displaystyle mathbf r nbsp 是場位置 r displaystyle mathbf r nbsp 是源位置 V displaystyle mathbb V nbsp 是積分的體積區域 假設體積區域 V displaystyle mathbb V nbsp 是在以原點為圓心 半徑為 R displaystyle R nbsp 的圓球內部 則在圓球以外 電勢 F r displaystyle Phi mathbf r nbsp 可以多極展開 文獻裏常見到兩種電勢的多極展開方法 一種展開為直角坐標 x y z displaystyle x y z nbsp 的泰勒級數 稱為 笛卡兒多極展開 Cartesian multipole expansion 另一種是用距離倒數的冪和球諧函數展開 是以球坐標表示 稱為 球多極展開 spherical multipole expansion 笛卡兒多極展開 编辑 任意函數 f r displaystyle f mathbf r nbsp 在原點 r O displaystyle mathbf r mathbf O nbsp 的泰勒級數為 f r f O r f O 1 2 a 1 3 b 1 3 r a r b 2 f O r a r b displaystyle f mathbf r f mathbf O mathbf r cdot nabla f mathbf O frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 r alpha r beta frac partial 2 f mathbf O partial r alpha partial r beta dots nbsp 其中 displaystyle nabla nbsp 是對於 r displaystyle mathbf r nbsp 的偏微分 設定 f r 1 r r displaystyle f mathbf r frac 1 mathbf r mathbf r nbsp 則 f r displaystyle f mathbf r nbsp 對於 r displaystyle mathbf r nbsp 的偏微分為 f r r a r a r a r r 3 displaystyle frac partial f mathbf r partial r alpha frac r alpha r alpha mathbf r mathbf r 3 nbsp 2 f r r a r b 3 r a r a r b r b r r 5 d a b r r 3 displaystyle frac partial 2 f mathbf r partial r alpha partial r beta frac 3 r alpha r alpha r beta r beta mathbf r mathbf r 5 frac delta alpha beta mathbf r mathbf r 3 nbsp 其中 d a b displaystyle delta alpha beta nbsp 是克罗内克记号 所以 1 r r displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r nbsp 在原點 r O displaystyle mathbf r mathbf O nbsp 的泰勒級數為 1 r r 1 r r r r 3 1 2 a 1 3 b 1 3 3 r a r b r 5 d a b r 3 r a r b 1 r r r r 3 1 2 a 1 3 b 1 3 3 r a r b r a r b r 2 r a r b d a b r 5 1 r r r r 3 1 2 a 1 3 b 1 3 3 r a r b r a r b r a r b r 2 d a b r 5 displaystyle begin aligned frac 1 mathbf r mathbf r amp frac 1 r frac mathbf r cdot mathbf r r 3 frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 left frac 3r alpha r beta r 5 frac delta alpha beta r 3 right r alpha r beta dots amp frac 1 r frac mathbf r cdot mathbf r r 3 frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 left frac 3r alpha r beta r alpha r beta r 2 r alpha r beta delta alpha beta r 5 right dots amp frac 1 r frac mathbf r cdot mathbf r r 3 frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 left frac 3r alpha r beta r alpha r beta r alpha r beta r prime 2 delta alpha beta r 5 right dots end aligned nbsp 將這展開式代入電勢的方程式 則可得到 F r 1 4 p ϵ 0 V 1 r r r r 3 1 2 a 1 3 b 1 3 r a r b 3 r a r b r 2 d a b r 5 r r d 3 r displaystyle Phi mathbf r frac 1 4 pi epsilon 0 int mathbb V left frac 1 r frac mathbf r cdot mathbf r r 3 frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 frac r alpha r beta 3r alpha r beta r prime 2 delta alpha beta r 5 dots right rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 總電荷 電單極矩 q displaystyle q nbsp 電偶極矩 p displaystyle mathbf p nbsp 電四極矩 electric quadrupole moment Q a b displaystyle Q alpha beta nbsp 分別以方程式定義為 1 q d e f V r r d 3 r displaystyle q stackrel def int mathbb V rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp p d e f V r r r d 3 r displaystyle mathbf p stackrel def int mathbb V mathbf r rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp Q a b d e f V 3 r a r b r 2 d a b r r d 3 r displaystyle Q alpha beta stackrel def int mathbb V 3r alpha r beta r prime 2 delta alpha beta rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 則電勢的電單極矩 電偶極矩 電四極矩等等 笛卡兒多極矩 項目的總貢獻為 F r 1 4 p ϵ 0 q r p r r 3 1 2 r 5 a 1 3 b 1 3 Q a b r a r b displaystyle Phi mathbf r frac 1 4 pi epsilon 0 left frac q r frac mathbf p cdot mathbf r r 3 frac 1 2r 5 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 Q alpha beta r alpha r beta dots right nbsp 球多極展開 编辑 場位置與源位置之間距離的倒數 1 r r displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r nbsp 可以用球諧函數 Y ℓ m displaystyle Y ell m nbsp 展開為 1 1 r r ℓ 0 m ℓ ℓ 4 p 2 ℓ 1 r ℓ r ℓ 1 Y ℓ m 8 ϕ Y ℓ m 8 ϕ r lt r displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r sum ell 0 infty sum m ell ell frac 4 pi 2 ell 1 frac r prime ell r ell 1 Y ell m theta phi Y ell m theta phi qquad r lt r nbsp 其中 r displaystyle mathbf r nbsp 與 r displaystyle mathbf r nbsp 的球坐標分別為 r 8 ϕ displaystyle r theta phi nbsp 與 r 8 ϕ displaystyle r theta phi nbsp 將這展開式代入電勢的方程式 則可得到 F r 1 ϵ 0 ℓ 0 m ℓ ℓ Y ℓ m 8 ϕ 2 ℓ 1 r ℓ 1 V Y ℓ m 8 ϕ r ℓ r r d 3 r displaystyle Phi mathbf r frac 1 epsilon 0 sum ell 0 infty sum m ell ell frac Y ell m theta phi 2 ell 1 r ell 1 int mathbb V Y ell m theta phi r prime ell rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 電荷分佈的球多極矩 q ℓ m displaystyle q ell m nbsp 以方程式定義為 q ℓ m d e f V Y ℓ m 8 ϕ r ℓ r r d 3 r displaystyle q ell m stackrel def int mathbb V Y ell m theta phi r prime ell rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 則電勢可以以球多極矩表示為 F r 1 ϵ 0 ℓ 0 m ℓ ℓ q ℓ m Y ℓ m 8 ϕ 2 ℓ 1 r ℓ 1 displaystyle Phi mathbf r frac 1 epsilon 0 sum ell 0 infty sum m ell ell frac q ell m Y ell m theta phi 2 ell 1 r ell 1 nbsp 注意到 q ℓ m 1 m q ℓ m displaystyle q ell m 1 m q ell m nbsp 以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式 以及與笛卡兒多極矩之間的關係 1 q 00 1 4 p V r r d 3 r 1 4 p q q 11 3 8 p V r sin 8 e i ϕ r r d 3 r 3 8 p p x i p y q 10 3 4 p V r cos 8 r r d 3 r 3 4 p p z q 22 15 32 p V r 2 sin 2 8 e 2 i ϕ r r d 3 r 15 288 p Q 11 2 i Q 12 Q 22 q 21 15 8 p V r 2 sin 8 cos 8 e i ϕ r r d 3 r 15 72 p Q 13 i Q 33 q 20 5 16 p V r 2 3 cos 2 8 1 r r d 3 r 5 16 p Q 33 displaystyle begin aligned q 00 amp frac 1 sqrt 4 pi int mathbb V rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp frac 1 sqrt 4 pi q q 11 amp sqrt frac 3 8 pi int mathbb V r sin theta e i phi rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp sqrt frac 3 8 pi p x ip y q 10 amp sqrt frac 3 4 pi int mathbb V r cos theta rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp sqrt frac 3 4 pi p z q 22 amp sqrt frac 15 32 pi int mathbb V r prime 2 sin 2 theta e 2i phi rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp sqrt frac 15 288 pi Q 11 2iQ 12 Q 22 q 21 amp sqrt frac 15 8 pi int mathbb V r prime 2 sin theta cos theta e i phi rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp sqrt frac 15 72 pi Q 13 iQ 33 q 20 amp sqrt frac 5 16 pi int mathbb V r prime 2 3 cos 2 theta 1 rho mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp amp sqrt frac 5 16 pi Q 33 end aligned nbsp 多極展開式的特性 编辑 對於多極展開式的每一階 ℓ displaystyle ell nbsp 笛卡兒多極展開會得到 ℓ 1 ℓ 2 2 displaystyle ell 1 ell 2 2 nbsp 個笛卡兒多極矩 而球多極展開會得到 2 ℓ 1 displaystyle 2 ell 1 nbsp 個球多極矩 這是因為兩種展開各自具有不同的旋轉變換屬性 笛卡兒多極矩是可約的 reducible 而球多極矩則是不可約的 這種分解能夠得到旋轉群的不可約表示 在多極展開式裏 不等於零的最低階多極矩 其數值與原點的選擇無關 例如 對於在 V displaystyle mathbb V nbsp 內部 位置為 r 0 displaystyle mathbf r 0 nbsp 的單獨點電荷 電荷密度可以寫為 r r q d r r 0 displaystyle rho mathbf r q delta mathbf r mathbf r 0 nbsp 這單獨點電荷的電單極矩為 V q d r r 0 d 3 r q displaystyle int mathbb V q delta mathbf r mathbf r 0 mathrm d 3 mathbf r q nbsp 與原點位置無關 對於在 V displaystyle mathbb V nbsp 內部 位置分別為 r 1 displaystyle mathbf r 1 nbsp r 2 displaystyle mathbf r 2 nbsp 的兩個異電性 同電量的點電荷 電荷密度可以寫為 r r q d r r 1 d r r 2 displaystyle rho mathbf r q delta mathbf r mathbf r 1 delta mathbf r mathbf r 2 nbsp 這單獨點電荷的電單極矩為 V q d r r 1 d r r 2 d 3 r 0 displaystyle int mathbb V q delta mathbf r mathbf r 1 delta mathbf r mathbf r 2 mathrm d 3 mathbf r 0 nbsp 最低階多極矩為電偶極矩 V r q d r r 1 d r r 2 d 3 r q r 1 r 2 displaystyle int mathbb V mathbf r q delta mathbf r mathbf r 1 delta mathbf r mathbf r 2 mathrm d 3 mathbf r q mathbf r 1 mathbf r 2 nbsp 這電偶極矩與原點位置無關 與兩個點電荷之間的相對位置有關 電能的多極展開式 编辑假設處於外電勢 F r displaystyle Phi mathbf r nbsp 的電荷密度分佈 r r displaystyle rho mathbf r nbsp 則其電能 U displaystyle U nbsp 為 U V r r F r d 3 r displaystyle U int mathbb V rho mathbf r Phi mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 注意到外電場 E F displaystyle mathbf E nabla Phi nbsp 外電勢 F r displaystyle Phi mathbf r nbsp 在原點 O displaystyle mathbf O nbsp 的泰勒級數為 F r F O r F O 1 2 a 1 3 b 1 3 r a r b 2 F O r a r b F O r E O 1 2 a 1 3 b 1 3 r a r b E b O r a displaystyle begin aligned Phi mathbf r amp Phi mathbf O mathbf r cdot nabla Phi mathbf O frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 r alpha r beta frac partial 2 Phi mathbf O partial r alpha partial r beta dots amp Phi mathbf O mathbf r cdot mathbf E mathbf O frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 r alpha r beta frac partial E beta mathbf O partial r alpha dots end aligned nbsp 由於外電場的散度為零 E 0 displaystyle nabla cdot mathbf E 0 nbsp 電勢可以寫為 F r F O r E O 1 6 a 1 3 b 1 3 3 r a r b r 2 d a b E b O r a displaystyle Phi mathbf r Phi mathbf O mathbf r cdot mathbf E mathbf O frac 1 6 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 3r alpha r beta r 2 delta alpha beta frac partial E beta mathbf O partial r alpha dots nbsp 將這方程式代入電能的積分式 可以得到 U q F O p E O 1 6 a 1 3 b 1 3 Q a b E b O r a displaystyle U q Phi mathbf O mathbf p cdot mathbf E mathbf O frac 1 6 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 Q alpha beta frac partial E beta mathbf O partial r alpha dots nbsp 從這裏可以看到電能的成分 第一個項目是點電荷處於外電勢的電能 第二個項目是電偶極子處於外電場的電能 第三個項目是電四極子處於具有梯度的外電場所涉及的電能 磁向量勢的多極展開式 编辑在靜磁學裏 設定電流密度分佈 J r displaystyle mathbf J mathbf r nbsp 則其產生的磁向量勢 A r displaystyle mathbf A mathbf r nbsp 為 A r d e f m 0 4 p V J r r r d 3 r displaystyle mathbf A mathbf r stackrel def frac mu 0 4 pi int mathbb V frac mathbf J mathbf r mathbf r mathbf r d 3 mathbf r nbsp 其中 r displaystyle mathbf r nbsp 是場位置 r displaystyle mathbf r nbsp 是源位置 將前面推導出的 1 r r displaystyle frac 1 mathbf r mathbf r nbsp 在原點 r O displaystyle mathbf r mathbf O nbsp 的泰勒級數帶入磁向量勢方程式 則可得到 A r m 0 4 p V 1 r r r r 3 1 2 a 1 3 b 1 3 r a r b 3 r a r b r 2 d a b r 5 J r d 3 r displaystyle mathbf A mathbf r frac mu 0 4 pi int mathbb V left frac 1 r frac mathbf r cdot mathbf r r 3 frac 1 2 sum alpha 1 3 sum beta 1 3 frac r alpha r beta 3r alpha r beta r prime 2 delta alpha beta r 5 dots right mathbf J mathbf r mathrm d 3 mathbf r nbsp 由於在靜磁學裏 J r 0 displaystyle nabla cdot mathbf J mathbf r 0 nbsp V J a r d 3 r V J r r a d 3 r V r a J r r a J r d 3 r V r a J r d 3 r displaystyle begin aligned int mathbb V J alpha mathbf r d 3 mathbf r amp int mathbb V mathbf J mathbf r cdot nabla r alpha d 3 mathbf r int mathbb V nabla cdot r alpha mathbf J mathbf r r alpha nabla cdot mathbf J mathbf r d 3 mathbf r amp int mathbb V nabla cdot r alpha mathbf J mathbf r d 3 mathbf r end aligned nbsp 應用高斯散度定理 由於電流密度分佈 J displaystyle mathbf J nbsp 是局部的 假若積分體積 V displaystyle mathbb V nbsp 足夠大 則位於包含積分體積的曲面 S displaystyle mathbb S nbsp 的電流密度分佈為零 V J a r d 3 r S r a J r d S 0 displaystyle int mathbb V J alpha mathbf r d 3 mathbf r int mathbb S r alpha mathbf J mathbf r cdot d mathbf S 0 nbsp 所以 磁單極子項目 V J a r d 3 r displaystyle int mathbb V J alpha mathbf r d 3 mathbf r nbsp 等於零 磁偶極子項目不等於零 首先 應用高斯散度定理和電流密度分佈的局部性這事實 可以得到 V r a r b J r d 3 r V r b J r r a r a J r r b r a r b J r d 3 r V r b J a r r a J b r d 3 r 0 displaystyle begin aligned int mathbb V nabla cdot r alpha r beta J mathbf r d 3 mathbf r amp int mathbb V r beta J mathbf r cdot nabla r alpha r alpha J mathbf r cdot nabla r beta r alpha r beta nabla cdot J mathbf r d 3 mathbf r amp int mathbb V r beta J alpha mathbf r r alpha J beta mathbf r d 3 mathbf r amp 0 end aligned nbsp 注意到以下關係式 r V r J a r d 3 r 1 2 b 1 3 r b V r b J a r r a J b r d 3 r 1 2 r V r J r d 3 r a displaystyle begin aligned mathbf r cdot int mathbb V mathbf r J alpha mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp frac 1 2 sum beta 1 3 r beta int mathbb V r beta J alpha mathbf r r alpha J beta mathbf r mathrm d 3 mathbf r amp frac 1 2 left mathbf r times int mathbb V mathbf r times mathbf J mathbf r mathrm d 3 mathbf r right alpha end aligned nbsp 定義磁偶極矩 m displaystyle mathbf m nbsp 為 m d e f 1 2 V r J r d 3 r displaystyle mathbf m stackrel def frac 1 2 int mathbb V mathbf r times mathbf J mathbf r d 3 mathbf r nbsp 只取至最低階項目 即磁偶極矩項目 則磁向量勢 A r displaystyle mathbf A mathbf r nbsp 為 A r m 0 4 p m r r 3 displaystyle mathbf A mathbf r frac mu 0 4 pi frac mathbf m times mathbf r r 3 nbsp 數值模擬 编辑多極展開在數值模擬領域用途很多 對於相互作用的粒子組成的物理系統 快速多極法 fast multipole method 是高效率運算這系統的能量與作用力常使用的一種方法 2 快速多極法就是建構於格林函數的多極展開 這方法的基本點子是分解所有粒子為幾個小群 每一個小群內的粒子正常地互相作用 即通過全部勢能 而小群與小群之間的互相作用則是由其多極矩計算求得 快速多極矩法的效率通常與伊沃德求和法 Ewald summation 等同 但是假若系統的粒子具有高度群聚性 即高密度漲落 則快速多極矩法比較優等 參閱 编辑圓柱多極矩 cylindrical multipole moment 四極磁鐵 quadrupole magnet 粒子加速器內部的一個配件 拉普拉斯展開 位勢論 Laplace expansion potential 勒讓德多項式參考文獻 编辑 1 0 1 1 1 2 Jackson John David Classical Electrodynamic 3rd USA John Wiley amp Sons Inc pp 111 145 151 1999 ISBN 978 0 471 30932 1 引文格式1维护 冗余文本 link Ross D Adamson The Fast Multipole Method January 21 1999 December 10 2010 原始内容存档于2011 06 03 取自 https zh wikipedia org w index php title 多極展開 amp oldid 62628034, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,