多卷波混沌吸引子

多卷波混沌吸引子（N scroll chaotic attractor）也称N卷波吸引子，是實際混沌電路（一般而言，是蔡氏電路）加上一個非線性電阻（例如蔡氏二極體（英语：Chua's Diode））而產生的奇異吸引子。多卷波混沌吸引子可以用三個非線性常微分方程以及三段的片段連續線性方程來描述。這可以簡化系統的數值模擬，也因為蔡氏電路的設計簡單，也很容易實作。

多卷波混沌吸引子在保密数码通讯，同步预测等方面有重要应用。

超混沌陈氏吸引子

陈氏系统： ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=a*(y(t)-x(t)),}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=(c-a)*x(t)-x(t)*f+c*y(t),}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)*y(t)-b*z(t)}$ 

其中 ${\displaystyle f}$  为调控函数：^[1]

正弦调控函数

 

 

51 frame N scroll modified Chen attractor x axe vs t

${\displaystyle f=g*z(t)-h*\sin(z(t))}$ 

参数：

:= a = 35, c = 28, b = 3, g = 1, h = -25..25;

初始条件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14;

利用Maple中龙格－库塔-菲尔伯格法（英语：Runge–Kutta–Fehlberg method）（Runge–Kutta–Fehlberg法，简称 RKF45）可得数字解并做图。

h	卷波数
5	4
8	6
22	14

延时正弦函数

 

N scroll attractor based on Chen with sine and tau

${\displaystyle f=d0*z(t)+d1*z(t-\tau )-d2*\sin(z(t-\tau ))}$ 

参数：

params := a = 35, c = 28, b = 3, d0 = 1, d1 = 1, d2 = -20..20, tau = .2;

初始条件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 14;

利用Maple中龙格－库塔-菲尔伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，简称 RKF45）可得数字解并做图。

超混沌蔡氏吸引子

2001年Tang等提出改进的蔡氏吸引子系统：.^[2]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=\alpha *(y(t)-h)}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=x(t)-y(t)+z(t)}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=-\beta *y(t)}$ 

其中

${\displaystyle h:=-b*sin({\frac {\pi *x(t)}{2*a}}+d)}$ 

参数：

params := alpha = 10.82, beta = 14.286, a = 1.3, b = .11, c = 7, d = 0;

初始条件：

initv := x(0) = 1, y(0) = 1, z(0) = 0;

利用Maple中龙格－库塔-菲尔伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，简称 RKF45）可得数字解并做图：

 

9 卷波 超混沌蔡氏吸引子

 

9 卷波 超混沌蔡氏吸引子

延龄草型混沌吸引子

 

延龄草型混沌吸引子

1993年 Miranda & Stone 提出下列方程组：^[3]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=1/3*(-(a+1)*x(t)+a-c+z(t)*y(t))+((1-a)*(x(t)^{2}-y(t)^{2})+(2*(a+c-z(t)))*x(t)*y(t))}$ ${\displaystyle *{\frac {1}{3*{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=1/3*((c-a-z(t))*x(t)-(a+1)*y(t))+((2*(a-1))*x(t)*y(t)+(a+c-z(t))*(x(t)^{2}-y(t)^{2}))}$ ${\displaystyle *{\frac {1}{3*{\sqrt {x(t)^{2}+y(t)^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} z(t)}{\mathrm {d} t}}=1/2*(3*x(t)^{2}*y(t)-y(t)^{3})-b*z(t)}$ 

参数：${\displaystyle a=10,\quad b={\frac {8}{3}},\quad c={\frac {137}{5}}}$ 

初始条件：${\displaystyle x(0)=-8,\quad y(0)=4,\quad z(0)=10}$ 

利用Maple中龙格－库塔-菲尔伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，简称 RKF45）可得数字解并做图：

PWL 杜芬混沌吸引子

2000年Aziz Alaoui 提出 PWL Duffing 方程：^[4]。

PWL 杜芬方程：

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}=y(t)}$ 

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y(t)}{\mathrm {d} t}}=-m1*x(t)-(1/2*(m0-m1))*(|x(t)+1|-|x(t)-1|)-e*y(t)+\gamma *cos(\omega *t)}$ 

参数：

params := e = .25, gamma = .14+(1/20)*i, m0 = -0.845e-1, m1 = .66, omega = 1; c := (.14+(1/20)*i)，i=-25..25;

初始条件：

initv := x(0) = 0, y(0) = 0;

利用Maple中龙格－库塔-菲尔伯格法（Runge–Kutta–Fehlberg法，简称 RKF45）可得数字解并做图：

 

PWL Duffing chaotic attractor xy plot

 

PWL Duffing chaotic attractor plot

参考文献

1. XINZHI LIU MULTI-SCROLL CHAOTIC AND HYPERCHAOTIC ATTRACTORS GENERATED FROM CHEN SYSTEM, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 22, No. 2 (2012) 1250033-2
2. Chen, Guanrong; Jinhu Lu. GENERATING MULTISCROLL CHAOTIC ATTRACTORS: THEORIES, METHODS AND APPLICATIONS (PDF). International Journal of Bifurcation and Chaos. 2006, 16 (4): 793–794 [2012-02-16]. （原始内容 (PDF)于2012-01-06）.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
3. J.Liu and G Chen p834
4. J.Lu et al p837

外部連結

• The double-scroll attractor and Chua's circuit （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Lozi, R.; Pchelintsev, A.N. A new reliable numerical method for computing chaotic solutions of dynamical systems: the Chen attractor case. International Journal of Bifurcation and Chaos. 2015, 25 (13): 1550187 [2020-10-08]. doi:10.1142/S0218127415501874. （原始内容于2019-05-02）.