混沌理论

混沌理论（英語：Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混沌吸引子）。

數值r = 28，σ = 10，b = 8/3的勞侖次吸引子圖形。

一个双杆摆动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。

杜芬方程吸引子图列

蔡氏电路 吸引子

Rossler 吸引子

陳氏吸引子

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机的行为或性态。确定性是指方程不含随机项的系统，也称动力系统。典型的模型有單峰映象迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，陳氏吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮（日语：上田睆亮）、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道（英语：Homoclinic orbit）、异宿轨道（英语：Heteroclinic orbit）的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。^[1]对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图（英语：Recurrence plot）和庞加莱映射等分析技术。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“

一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。

”

混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述，古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的万有引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家愛德華·諾頓·勞侖次发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅爾发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家愛德華·勞侖次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了決定系统可能产生隨機结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究裡有重大的作用。

應用

混沌理論在許多科學學科中得到廣泛應用，包括：數學、生物學、信息技術、經濟學、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學。

多種系統的渾沌狀態在實驗室中得到觀察，包括電路、激光、流體的動態，以及機械和電磁裝置。在自然中進行的有對天氣、衛星運動、天體磁場、生態學中的種群增長、神經元中的動作電位和分子振動的觀察。

渾沌理論最成功的應用之一在于生態學中的洛特卡－沃爾泰拉方程，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態。

混沌控制

混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。

混沌動力學

混沌系統有三種性質：

1. 受初始狀態影響的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。
2. 具有拓撲混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。
3. 周期軌道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。

参见

•  数学主题
•  物理学主题
•  天文学主题
•  电子学主题
•  生物学主题

維基教科書中的相關電子教程：混沌理论

• 混沌系统的实例
  • 蔡氏電路
  • 單峰映象
  • 若斯叻吸引子

• 其他相关主题
  • 条件数
  • 適定性問題
  • 分形
    • 朱利亞集
    • 曼德博集合
  • 涌现
  • 非線性
  • 聖菲研究所
  • 复杂

• 人物
  • 迈克尔·贝里
  • 蔡少棠
  • 愛德華·諾頓·勞侖次
  • 亞歷山大·李亞普諾夫
  • 本華·曼德博
  • 儒勒·昂利·庞加莱
  • 詹姆士·约克
• 随机性
• 分岔
• 决定论
• 非决定论
• 因果律
• 自由意志
• 复杂性
• 系统论
• 蝴蝶效应
• 量子力學

参考文献

引用

1. Ivancevic, Vladimir G.; Tijana T. Ivancevic. Complex nonlinearity: chaos, phase transitions, topology change, and path integrals. Springer. 2008. ISBN 978-3-540-79356-4. 

来源

刊物文章

• 郝柏林：《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它》，《物理学进展》，1983， 3（01）.
• 朱照宣：《非线性动力学中的浑沌》，《力学进展》，1984， （02）.

书籍

• 苗东升、刘华杰：《浑沌学纵横论》，北京：中国人民大学出版社，1992，1993.
• 刘华杰：《浑沌语义与哲学》，长沙：湖南教育出版社，1998.

外部連結

维基共享资源中相关的多媒体资源：混沌理论

• Hazewinkel, Michiel (编), Chaos, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• with Animations in Flash
• The Chaos group at the University of Maryland （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Chaos Hypertextbook （页面存档备份，存于互联网档案馆）. An introductory primer on chaos and fractals
• ChaosBook.org （页面存档备份，存于互联网档案馆） An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
• Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• , Florence Italy
• , allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
• Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos （页面存档备份，存于互联网档案馆）, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
• Nonlinear Dynamics （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Gleick's Chaos (excerpt) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• at the University of Oxford
• High Anxieties — The Mathematics of Chaos （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2008) BBC documentary directed by David Malone
• The chaos theory of evolution （页面存档备份，存于互联网档案馆） - article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
• Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.