拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：

給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）

此題目是由義大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，喬治·莫爾（英语：Georg Mohr）證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖^[1]，但此證明直到1928年才被發現。^[2]

找出圓心

 

${\displaystyle C}$ →深藍、${\displaystyle C_{1}}$ →紅、${\displaystyle C_{2}}$ →綠、${\displaystyle C_{3}}$ →紫、${\displaystyle C_{4}}$ →藍

作法

1. 在已知的圓${\displaystyle C}$ 上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ （必須和圓${\displaystyle C}$ 有交點，长度最好差不多有半圆那么长，方便第三步作图），交圓${\displaystyle C}$ 於 B'、B 兩點。
2. 分别以B'、B為圓心， ${\displaystyle {\overline {B'A}}}$  、${\displaystyle {\overline {BA}}}$  為半徑，畫兩条弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{2}}}$ ，兩弧线相交於 A 点和 C 點。
3. 再以 C 点為圓心、 ${\displaystyle {\overline {CA}}}$ 為半徑，畫弧 ${\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}}$  ，交弧${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ 於 D'、D兩點。
4. 以D'、D為圓心， ${\displaystyle {\overline {D'A}}}$  、${\displaystyle {\overline {DA}}}$  為半徑，畫兩条弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$  ，兩弧线相交於A点和O点。（O点即圓${\displaystyle C}$ 的圓心）

證明

設圓${\displaystyle C_{1}}$ 的半徑為${\displaystyle a}$ ，圓${\displaystyle C_{3}}$ 的半徑為${\displaystyle b}$ ，我們知道：

${\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}}$ 

${\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}}$ 

因為${\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD}$ ，所以${\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}}$ 

由於${\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}}$ ，可以得出${\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB}$ 

根據對稱性，${\displaystyle {\overline {AO}}}$ 通過圓心，又${\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}}$ ，所以${\displaystyle O}$ 是圓${\displaystyle C}$ 的圓心。

四等分圓

 

作法

由前面我們已經知道圓心的位置

1. 在已知的圓上找任意一點 ${\displaystyle X}$ ，以${\displaystyle {\overline {XO}}}$ 為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$ ，交圓於 ${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle Y}$  兩點。
2. 以 ${\displaystyle Y}$  為圓心，${\displaystyle {\overline {YO}}}$ 為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{2}}}$ ，交圓於 ${\displaystyle Z}$  点（和 ${\displaystyle X}$  點）。
3. （继续分别以 ${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle V}$  為圓心，${\displaystyle {\overline {ZO}}}$ 、${\displaystyle {\overline {VO}}}$  為半徑畫弧，即可將圓六等分，）${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle X}$ 、${\displaystyle Y}$ 、${\displaystyle Z}$  為四个六等分點（如圖）。
4. 以 ${\displaystyle V}$  為圓心，${\displaystyle {\overline {VY}}}$ 為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{3}}}$ ；以 ${\displaystyle Z}$  為圓心，${\displaystyle {\overline {ZX}}}$ 為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$ ，兩弧交於 ${\displaystyle T}$  點。
5. 以 ${\displaystyle Z}$  為圓心，取${\displaystyle {\overline {OT}}}$ 的长度 ${\displaystyle {\color {Green}D}}$  為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{5}}}$ ，交圓於 ${\displaystyle U}$ 、${\displaystyle W}$  兩點。
6. ${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle W}$ 、${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle U}$  四點將圓四等分。

證明

設圓的半徑為${\displaystyle a}$ ，容易得出${\displaystyle {\overline {OV}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OX}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {OZ}}}$ 、${\displaystyle {\overline {VX}}}$ 、${\displaystyle {\overline {XY}}}$ 、${\displaystyle {\overline {YZ}}}$ 的長度都是${\displaystyle a}$ ，可以得出${\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a}$ ，根據畢氏定理可以得出${\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a}$ ，因此${\displaystyle V}$ 、${\displaystyle W}$ 、${\displaystyle Z}$ 、${\displaystyle U}$ 四點將圓四等分。

參見

• 拿破崙定理
• 尺規作圖
• 圓規作圖

註解

1. Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
2. Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

參考資料

• Napoleon's Problem （页面存档备份，存于互联网档案馆）MathWorld