向量組的秩

定义

一般定义

向量組的秩即為向量組中的任一最大線性無關組所含有的向量個數.

维数定义

在向量空间${\displaystyle \mathbb {R} }$ ⁿ中任意向量组构成的集合${\displaystyle \{X_{1},X_{2},...,X_{r}\}}$ （可能是无限的），那么该与该向量组对应的向量子空间${\displaystyle <X_{1},X_{2},...,X_{r}>}$ 的维数${\displaystyle r}$ ≤${\displaystyle n}$ 那么这个${\displaystyle n}$ 就叫该向量组的秩.

举例

舉例來說，設有一向量組${\displaystyle S:\{a_{1},a_{2},...,a_{m}\}}$ ，若存在r個向量${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{r}\in S}$ ，且r個向量為向量組${\displaystyle S}$ 的最大線性無關組，則此最大線性無關組的向量個數r，即為向量組${\displaystyle S}$ 的秩.

假设矩阵A的列秩为r，记矩阵A的列向量为${\displaystyle c_{1},c_{2},\cdots ,c_{n}}$ ，于是能找到r个线性无关的列向量，使得等式${\displaystyle x_{1}c_{i_{1}}+x_{2}c_{i_{2}}+\cdots +x_{r}c_{i_{r}}=0}$ 只有零解.另一方面，可知此线性方程组只有零解当且仅当它的行向量组的秩${\displaystyle \geq r}$ .于是能在此线性方程组的系数矩阵中找到r个线性无关的行向量.注意到这些行向量是由矩阵A的行向量缩短得到的.给这些行向量增加若干个分量，我们就得到矩阵A的r个线性无关的行向量.因此矩阵A的行秩必然${\displaystyle \geq }$ 列秩.同样可证矩阵A的列秩${\displaystyle \geq }$ 行秩.所以行秩等于列秩.记之为矩阵的秩.