向量空间的维数定理

數學分支線性代數中，向量空間的維數定理表明，向量空間的任意一組基，都具有相同數量的元素。基的大小可能有限，也可能無窮（此時其大小為基數）。基的大小定義為向量空間的維數。^[1]

形式上，向量空間的維數定理指出：

設V為向量空間，${\displaystyle {\mathcal {B_{1},B_{2}}}}$為兩組基，則兩者等勢，即元素個數${\displaystyle |{\mathcal {B}}_{1}|=|{\mathcal {B}}_{2}|}$。

由於基是線性獨立的生成集，上述定理可由以下定理推出：

在一個向量空間V中，如果G是生成集，I是線性獨立集，那麼I的基數不大於G的基數。

特別地，如果V有限生成，則每一組基皆為有限，並且具有相同數量的元素^[2]。在一般情況下，證明「任何向量空間都包含一組基」需要佐恩引理，並且實際上等價於選擇公理^{[來源請求]}，但證明「基的大小唯一」只需要布尔素理想定理^[3]。

參考資料

1. Lang, Serge. Algebra. GTM 211 Revised Third Edition. Springer. 2002: 140–141. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
2. Howard, P., Rubin, J.: "Consequences of the axiom of choice" - Mathematical Surveys and Monographs, vol 59 (1998) ISSN 0076-5376.
3. Halpern, James D. Bases in vector spaces and the axiom of choice. Proceedings of the American Mathematical Society. 1966, 17: 670–673. JSTOR 2035388. MR 0194340. doi:10.2307/2035388 （英语）.