史密斯图

史密斯图（Smith chart）是一种用于电子工程的图表，工程师可以用它解决传输线和阻抗匹配电路的相关问题。史密斯图可以将射频电路的多种参数显示在图像上，同时它也是一种诺谟图，即利用图像进行计算的工具。在手工计算时，它能简化许多繁杂的计算步骤。

史密斯圖（阻抗版本）

惠普8720A矢量网络分析仪，测量结果显示在史密斯图上。

史密斯图可以显示的电路参数包括阻抗、导纳、反射系数、散射参数（英语：Scattering parameters）（S参数）、等噪声圆、等增益圆、稳定圆等。人们通常使用单位圆之内的区域，但单位圆之外依然具有数学意义，且具有振荡器设计和稳定性分析等应用。

在计算机出现后，史密斯图的计算功能已经被软件取代，但由于它能将电路参数随频率的变化以图形化表示，远比表格直观，依然是十分有用的图表。因此，大多数射频电路分析软件都支持用史密斯图显示数据。除了最简单的阻抗表外，大多数测量仪器都可以在史密斯图上绘制测量结果。同时，對於就讀電磁學、微波工程及射頻電子學的學生來說，在解決課本問題仍然很實用，至今仍是重要的教學用具。

历史

該圖表是由菲利普·黑格·史密斯（Philip Hagar Smith）与水橋東作独立^[1]发明。史密斯於1939年發明此图^[2][3]，當時他在美國無線電公司工作，曾說過，「在我能夠使用計算尺的時候，我對以圖表方式來表達數學上的關聯很有興趣」。但日本無線電信公司（日语：日本無線電信）的水橋東作在1937年所發表的論文^[4]中就已提出這種圖表，比菲利普·史密斯早2年。因此在日本有主張此圖應改名為「水橋圖」或「水橋-史密斯圖」^[5][6]。

概述

 

史密斯图的基本使用方法。电磁波顺着特性阻抗为${\displaystyle Z_{0}}$ 的传输线前进，并在末端遇到以一阻抗为${\displaystyle Z_{L}}$ 的负载（其归一化阻抗为z=Z_L/Z₀）。此时信号会产生反射，其反射系数为Γ。史密斯图上的任何一点同时表示阻抗值z（左图）和对应的反射系数Γ（右图）。两者的关系式为z=(1 + Γ)/(1 − Γ)。

史密斯图是对二维直角坐标系的复平面的数学变换。阻抗实部（电阻）为正的数映射在圆图之内，阻抗实部（电阻）为负的数映射在圆图之外。通常人们所关注的是圆图之内的区域，不考虑电阻为负数的情况。该数学变换的公式为

${\displaystyle \Gamma ={\frac {Z_{L}-Z_{0}}{Z_{L}+Z_{0}}}={\frac {z-1}{z+1}}}$ 

其中

${\displaystyle z={\frac {Z_{L}}{Z_{0}}}}$ 

${\displaystyle \Gamma }$ 代表其線路的反射係數，即S參數（英语：Scattering parameters）裡的S₁₁。${\displaystyle Z_{L}}$ 是電路的負載阻抗值。${\displaystyle Z_{0}}$ 是参考阻抗（又称系统阻抗），一般选择要研究的傳輸線的特性阻抗值，通常为50Ω。${\displaystyle z}$ 是归一化阻抗。换言之，我们将一电路的复阻抗${\displaystyle Z_{L}}$ 与参考阻抗${\displaystyle Z_{0}}$ 相除，使归一化阻抗为1，位于图表的原点。使用归一化阻抗的优点是，同一张史密斯图适用于特性阻抗不同的各种系统。

圖表中的圓形線代表阻抗的實數值，即電阻值，中間的橫線與向上和向下散出的線則代表阻抗的虛數值，即由電容或電感在高頻下所產生的電抗，當中向上的是正數，为感性负载，向下的是負數，为容性负载。圖表最中間的點（1+j0）代表参考阻抗，即一個已阻抗匹配的電阻數值（${\displaystyle Z_{L}=Z_{0}}$ ），同時其反射係數的值會是零。圖表的邊緣代表其反射係數的長度是1，即100%反射。在圖邊的數字代表反射係數的角度（0-180度）和波長（由零至半個波長）。

有一些圖表是以導納值來表示，把上述的阻抗值版本旋轉180度即可。

參考資料

1. Smith Chart. ETHW.org. [March 30, 2021]. （原始内容于2022-01-09）. 
2. Smith, Phillip H. Transmission line calculator. Electronics. Vol. 12 no. 1. January 1939: 29–31. 
3. Smith, Phillip H. An improved transmission line calculator. Electronics. Vol. 17 no. 1. January 1944: 130. 
4. Mizuhashi, T. Theory of four-terminal impedance transformation circuit and matching circuit. The Journal of the Institute of Electrical Communication Engineers of Japan. December 1937: 1053–1058. 
5. 岡村史良, "スミスチャートは日本人の独創ではないか," （页面存档备份，存于互联网档案馆） 電気通信学会雑誌、第８号、pp.768-769 (1959).
6. 伊藤健一「インピーダンスのはなし」日刊工業新聞社 、p.26 (1999) ISBN 4-526-04463-6

參考書目

1. Field and Wave Electromagnetics, David K. Cheng, Addison Wesley, ISBN 0-201-52820-7