卡諾定理 (垂線)

关于与「卡諾定理 (垂線)」標題相近或相同的条目，請見「卡諾定理」。

卡諾定理以拉扎爾·卡諾命名，為垂直於三角形各邊的直線是否交於一點提供了一個充分必要條件。該定理也可被視為是畢氏定理的一般化。

卡諾定理：若三角形三邊上的垂線交於一點F，則藍色區域面積等於紅色區域面積

定理

對於一個三角形${\displaystyle ABC}$ ，其三邊為${\displaystyle a,b,c}$ 。考慮三條垂直於各邊且交於一點的直線，若${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ 是這三條垂線在${\displaystyle a,b,c}$ 上的垂足，則下列關係式成立：

${\displaystyle |AP_{c}|^{2}+|BP_{a}|^{2}+|CP_{b}|^{2}=|BP_{c}|^{2}+|CP_{a}|^{2}+|AP_{b}|^{2}}$ 

該命題的逆命題同樣成立：若${\displaystyle P_{a},P_{b},P_{c}}$ 在邊上的位置滿足關係式，則以這三點為垂足做出的三條垂線會交於一點。因此，該關係式為垂線是否交於一點提供了一個充分必要條件。

特例

若三角形${\displaystyle \triangle ABC}$ 的角${\displaystyle C}$ 為直角，則可以將三條垂線的交點${\displaystyle F}$ 置於${\displaystyle A}$ 上。此時由於${\displaystyle P_{a}=C}$ 、 ${\displaystyle P_{b}=A}$ 且${\displaystyle P_{c}=A}$ ，可得${\displaystyle |AP_{b}|=0}$ 、${\displaystyle |AP_{c}|=0}$ 、${\displaystyle |CP_{a}|=0}$ 、${\displaystyle |CP_{b}|=b}$ 、${\displaystyle |BP_{a}|=a}$ 與${\displaystyle |BP_{c}|=c}$ ，代入卡諾定理的關係式後，即可推得畢氏定理${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ 。

若三條垂線皆為中垂線，則${\displaystyle |AP_{c}|=|BP_{c}|}$ 、${\displaystyle |BP_{a}|=|CP_{a}|}$ 且${\displaystyle |CP_{b}|=|AP_{b}|}$ ，無論三邊長度為何，上述關係式必會成立，故可推得三角形的三條中垂線必交於一點。

參考資料

• Wohlgemuth, Martin. (编). Mathematisch für fortgeschrittene Anfänger : Weitere beliebte Beiträge von Matroids Matheplanet. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag. 2010: 273–276. ISBN 9783827426079. OCLC 699828882 （German）.  引文格式1维护：未识别语文类型 (link)
• 阿爾弗雷德·S·波薩門蒂; Charles T. Salkind. Challenging Problems in Geometry. New York: Dover. 1996: 85–86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.