黑洞數

黑洞數也稱為卡布列克常數，是指一種專指四位數的特定函數關係，在某排列順序後，其演算式最後都會對應到6174。因此又名：6174問題、數字固定點、數字黑洞等...

關於黑洞數

黑洞數是指於四位數中，只要數字不完全相同，將數字由大到小的排列減去由小到大的排列，经有限操作后，总会得到某一个或一些数的数^[1]。假設一開始選定的數字為${\displaystyle x_{1}}$ ，${\displaystyle x_{2}}$ =f(${\displaystyle x_{1}}$ )，${\displaystyle x_{3}}$ =f(${\displaystyle x_{2}}$ )，...，${\displaystyle x_{n}}$ =f(${\displaystyle x_{n-1}}$ ) 用同樣的規則繼續算下去，最後的結果一定是6174^[1]。 比如說一開始選定9891，則f(9891)=9981-1899=8082，f(8082)=8820-0288=8532，f(8532)=8532-2358=6174，f(6174)=7641-1467=6174~
其他的四位數經過這樣一系列的運算後，在七步之內都會對應到6174。這種現象類似黑洞（進去後就出不來了），故稱為黑洞數^[1]。

歷史

1955年^[2]，由卡普耶卡（英语：D. R. Kaprekar）(D.R.Kaprekar)所提出，前蘇聯作家高基莫夫，在其所著數學的敏感一書，曾將其列為「沒有揭開的秘密」。目前，這個問題已獲解決。解決的方式在於「任意整數之固定點及k次循環之搜尋」。

其它位數的狀況

其實並非只有四位數有這樣的狀況，三位數也有一數495，任何三位數經過這樣的運算都會對應到495。其它位數就沒有像三位數及四位數這樣單純的狀況，會對應到不只一種結果，或是進入數字循環(即數個數循環對應)。
2位數的狀況:沒有黑洞，只有1個5成員的循環

09${\displaystyle \to }$ 81${\displaystyle \to }$ 63${\displaystyle \to }$ 27${\displaystyle \to }$ 45${\displaystyle \to }$ 09

5位數的狀況:沒有黑洞，有3個循環

71973${\displaystyle \to }$ 83952${\displaystyle \to }$ 74943${\displaystyle \to }$ 62964${\displaystyle \to }$ 71973

82962${\displaystyle \to }$ 75933${\displaystyle \to }$ 63954${\displaystyle \to }$ 61974${\displaystyle \to }$ 82962

53955${\displaystyle \to }$ 59994${\displaystyle \to }$ 53955

6位數的狀況:有2個黑洞631764、549945，還有1個7個成員的循環

420876${\displaystyle \to }$ 851742${\displaystyle \to }$ 750843${\displaystyle \to }$ 840852${\displaystyle \to }$ 860832${\displaystyle \to }$ 862632${\displaystyle \to }$ 642654${\displaystyle \to }$ 420876

7位數的狀況:沒有黑洞，只有1個8成員的循環

7509843${\displaystyle \to }$ 9529641${\displaystyle \to }$ 8719722${\displaystyle \to }$ 8649432${\displaystyle \to }$ 7519743${\displaystyle \to }$ 8429652${\displaystyle \to }$ 7619733${\displaystyle \to }$ 8439552${\displaystyle \to }$ 7509843

8位數的狀況:有2個黑洞63317664、97508421，还有2个循环

86526432${\displaystyle \to }$ 64308654${\displaystyle \to }$ 83208762${\displaystyle \to }$ 86526432

86308632${\displaystyle \to }$ 86326632${\displaystyle \to }$ 64326654${\displaystyle \to }$ 43208766${\displaystyle \to }$ 85317642${\displaystyle \to }$ 75308643${\displaystyle \to }$ 84308652${\displaystyle \to }$ 86308632

9位數的狀況:有2個黑洞554999445、864197532，还有1个14个成员的循环

883098612${\displaystyle \to }$ 976494321${\displaystyle \to }$ 874197522${\displaystyle \to }$ 865296432${\displaystyle \to }$ 763197633${\displaystyle \to }$ 844296552${\displaystyle \to }$ 762098733${\displaystyle \to }$ 964395531${\displaystyle \to }$ 863098632${\displaystyle \to }$ 965296431${\displaystyle \to }$ 873197622${\displaystyle \to }$ 865395432${\displaystyle \to }$ 753098643${\displaystyle \to }$ 954197541${\displaystyle \to }$ 883098612

10位數的狀況:有3個黑洞6333176664、9753086421、9975084201，还有5个循环

8653266432${\displaystyle \to }$ 6433086654${\displaystyle \to }$ 8332087662${\displaystyle \to }$ 8653266432

6431088654${\displaystyle \to }$ 8732087622${\displaystyle \to }$ 8655264432${\displaystyle \to }$ 6431088654

6543086544${\displaystyle \to }$ 8321088762${\displaystyle \to }$ 8765264322${\displaystyle \to }$ 6543086544

8633086632${\displaystyle \to }$ 8633266632${\displaystyle \to }$ 6433266654${\displaystyle \to }$ 4332087666${\displaystyle \to }$ 8533176642${\displaystyle \to }$ 7533086643${\displaystyle \to }$ 8433086652${\displaystyle \to }$ 8633086632

9775084221${\displaystyle \to }$ 9755084421${\displaystyle \to }$ 9751088421${\displaystyle \to }$ 9775084221

參考資料

1. 數學黑洞的魅力：6174到底憑什麼讓你癡迷. BBC. 2019-12-14 [2022-08-08] （中文（繁體））. 
2. 1949年： Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica 15: 244–245.

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