化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題，和三等分角、倍立方問題被並列為尺规作图三大难题。其問題為：求一正方形，其面積等於一給定圓的面積。如果尺规能够化圆为方，那么必然能够从单位长度出发，用尺规作出长度为的线段。
化圓為方：求一正方形，其面積和一已知圓的面積相同。进入十九世纪后，随着群论和域论的发展，数学家对三大难题有了本质性的了解。尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件，满足条件的数也被称为规矩数。所有规矩数都是代数数。而1882年，数学家林德曼證明了為超越數，因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的。
如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具，化圆为方的問題是可行的。如借助西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德螺線等。
背景简介 尺规作图法
在叙述化圆为方问题前，首先需要介绍尺规作图的意思。尺规作图问题是从现实中具体的“直尺和圆规画图可能性”问题抽象出来的数学问题，将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定，研究的是能不能在若干个具体限制之下，在有限的步骤内作出给定的图形、结构或其他目标的问题。在尺规作图中，直尺和圆规的定义是[1]：
- 直尺：一侧为无穷长的直线，没有刻度也无法标识刻度的工具。只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分。
- 圆规：由两端点构成的工具。可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下，将两个端点同时移动，或者只固定其中一个端点，让另一个端点移动，作出圆弧或圆。两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离，或者任意一个未知的距离。
定义了直尺和圆规的特性後，所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤，称为作图公法[1]：
- 通過兩個已知點，作一直線。
- 已知圓心和半徑，作一個圓。
- 若兩已知直線相交，确定其交點。
- 若已知直線和一已知圓相交，确定其交點。
- 若兩已知圓相交，确定其交點。
尺规作图研究的，就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复，达到给定的作图目标。尺规作图问题常见的形式是：“给定某某条件，能否用尺规作出某某对象？”比如：“给定一个圆，能否用尺规作出这个圆的圆心？”，等等。[1]
问题叙述
化圓為方问题的完整叙述是：
| “ | 给定一个圆，是否能够通过以上说明的五种基本步骤，于有限次内作出一个正方形，使得它的面积等于圆的面积 | ” |
如果将圆的半径定为单位长度，则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度 倍的线段。[2]
不可能性的證明 圆周率的超越性
化圆为方问题是指已知单位长度1，要作出 的长度。这等价于从1开始作出 。然而，能够用尺规作出的数z都有对应的最小多项式。也就是说，存在有理系数的多项式m，使得
-
然而，1882年，林德曼等人证明了对于圆周率 来说，这样的多项式不存在。数学家将这样的数称为超越数，而将有对应的多项式的数称为代数数。所有规矩数都是代数数，而 不是，这说明用尺规作图是无法化圆为方的。[1]
林德曼证明 的超越性用到了现在称为林德曼－魏尔斯特拉斯定理的结论。林德曼－魏尔斯特拉斯定理说明，如果若干个代数数 在有理数域 上线性独立，那么 也在 上线性独立。反设 是代数数，那么 也是代数数。考虑代数数0和 ，由于 是无理数，所以它们在 上线性独立。然而 和 分别是1和-1，并非在 上线性独立，矛盾。这说明 不是代数数，而是超越数。[2]
参考来源另见外部連結 - HPM 通訊第6卷第6期, 3大作圖題 （页面存档备份，存于互联网档案馆） 介紹如何使用其他曲線（或幾何特性）再加上尺規作圖，來求解化圓為方問題。
化圓為方, 是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題, 和三等分角, 倍立方問題被並列為尺规作图三大难题, 其問題為, 求一正方形, 其面積等於一給定圓的面積, 如果尺规能够化圆为方, 那么必然能够从单位长度出发, 用尺规作出长度为π, 的线段, 尺规作图三大难题三等分角倍立方, 求一正方形, 其面積和一已知圓的面積相同, 进入十九世纪后, 随着群论和域论的发展, 数学家对三大难题有了本质性的了解, 尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件, 满足条件的数也被称为规矩数, 所有规矩数都是代数数, 而1882年. 化圓為方是古希臘数学里尺規作圖领域當中的命題 和三等分角 倍立方問題被並列為尺规作图三大难题 其問題為 求一正方形 其面積等於一給定圓的面積 如果尺规能够化圆为方 那么必然能够从单位长度出发 用尺规作出长度为p pi 的线段 尺规作图三大难题三等分角化圓為方倍立方化圓為方 求一正方形 其面積和一已知圓的面積相同 进入十九世纪后 随着群论和域论的发展 数学家对三大难题有了本质性的了解 尺规作图问题可以归结为判定某些数是否满足特定的条件 满足条件的数也被称为规矩数 所有规矩数都是代数数 而1882年 数学家林德曼證明了p pi 為超越數 因此也證實該問題僅用尺規是無法完成的 如果放寬尺规作图的限制或允许使用其他工具 化圆为方的問題是可行的 如借助西皮阿斯的割圓曲線 英语 quadratrix 阿基米德螺線等 目录 1 背景简介 1 1 尺规作图法 1 2 问题叙述 2 不可能性的證明 2 1 圆周率的超越性 3 参考来源 4 另见 5 外部連結背景简介 编辑尺规作图法 编辑 主条目 尺规作图 在叙述化圆为方问题前 首先需要介绍尺规作图的意思 尺规作图问题是从现实中具体的 直尺和圆规画图可能性 问题抽象出来的数学问题 将现实中的直尺和圆规抽象为数学上的设定 研究的是能不能在若干个具体限制之下 在有限的步骤内作出给定的图形 结构或其他目标的问题 在尺规作图中 直尺和圆规的定义是 1 直尺 一侧为无穷长的直线 没有刻度也无法标识刻度的工具 只可以让笔摹下这个直线的全部或一部分 圆规 由两端点构成的工具 可以在保持两个端点之间的距离不变的情况下 将两个端点同时移动 或者只固定其中一个端点 让另一个端点移动 作出圆弧或圆 两个端点之间的距离只能取已经作出的两点之间的距离 或者任意一个未知的距离 定义了直尺和圆规的特性後 所有的作图步骤都可以归化为五种基本的步骤 称为作图公法 1 通過兩個已知點 作一直線 已知圓心和半徑 作一個圓 若兩已知直線相交 确定其交點 若已知直線和一已知圓相交 确定其交點 若兩已知圓相交 确定其交點 尺规作图研究的 就是是否能够通过以上五种步骤的有限次重复 达到给定的作图目标 尺规作图问题常见的形式是 给定某某条件 能否用尺规作出某某对象 比如 给定一个圆 能否用尺规作出这个圆的圆心 等等 1 问题叙述 编辑 化圓為方问题的完整叙述是 给定一个圆 是否能够通过以上说明的五种基本步骤 于有限次内作出一个正方形 使得它的面积等于圆的面积 如果将圆的半径定为单位长度 则化圆为方问题的实质是作出长度为单位长度p sqrt pi 倍的线段 2 不可能性的證明 编辑主条目 規矩數 圆周率的超越性 编辑 化圆为方问题是指已知单位长度1 要作出p sqrt pi 的长度 这等价于从1开始作出p pi 然而 能够用尺规作出的数z 都有对应的最小多项式 也就是说 存在有理系数的多项式m 使得 m z 0 m z 0 然而 1882年 林德曼等人证明了对于圆周率p pi 来说 这样的多项式不存在 数学家将这样的数称为超越数 而将有对应的多项式的数称为代数数 所有规矩数都是代数数 而p pi 不是 这说明用尺规作图是无法化圆为方的 1 林德曼证明p pi 的超越性用到了现在称为林德曼 魏尔斯特拉斯定理的结论 林德曼 魏尔斯特拉斯定理说明 如果若干个代数数z 1 z 2 z n z 1 z 2 cdots z n 在有理数域Q mathbb Q 上线性独立 那么e z 1 e z 2 e z n e z 1 e z 2 cdots e z n 也在Q mathbb Q 上线性独立 反设p pi 是代数数 那么p i pi i 也是代数数 考虑代数数0和p i pi i 由于p i pi i 是无理数 所以它们在Q mathbb Q 上线性独立 然而e 0 e 0 和e p i e pi i 分别是1和 1 并非在Q mathbb Q 上线性独立 矛盾 这说明p pi 不是代数数 而是超越数 2 参考来源 编辑 1 0 1 1 1 2 1 3 曹亮吉 三等分任意角可能吗 原載於科學月刊第九卷第四期 http episte math ntu edu tw 2013 05 28 原始内容存档于2014 06 23 外部链接存在于 publisher 帮助 2 0 2 1 康明昌 古希臘幾何三大問題 原載於數學傳播第八卷第二期 第八卷第三期分兩期刊出 http episte math ntu edu tw 2013 05 29 原始内容存档于2004 04 06 外部链接存在于 publisher 帮助 另见 编辑印第安纳圆周率法案外部連結 编辑HPM 通訊第6卷第6期 3大作圖題 页面存档备份 存于互联网档案馆 介紹如何使用其他曲線 或幾何特性 再加上尺規作圖 來求解化圓為方問題 取自 https zh wikipedia org w index php title 化圓為方 amp oldid 67059383, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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