分類問題之損失函數

在機器學習和最佳化領域中，分類問題之損失函數可以用來表達預測不準確之程度，其中分類問題主要是用來判斷所偵測到的物件屬於什麼類別。將一個向量空間${\displaystyle X}$做為所有的輸入值，而向量空間${\displaystyle Y=\{-1,1\}}$做為所有的輸出值。我们希望能夠找到最佳的公式${\displaystyle f:X\rightarrow \Re }$將${\displaystyle {\vec {x}}}$映射到${\displaystyle y}$^[1]。然而，由于信息不完整、雜訊、计算過程中的非确定性模块等因素，有可能會有相同的輸入值${\displaystyle {\vec {x}}}$映射到不同的輸出值${\displaystyle y}$^[2]。因此，這個學習過程的目的就是要最小化預期風險（更详细的介绍参见统计学习理论），預期風險之定義為：

各种代理损失函数的曲线。蓝色为0–1指示函数，绿色为平方损失函数，紫色为铰链损失函数，黄色为逻辑损失函数。注意所有代理损失函数对y=f(x= 0) 均给出1的惩罚。

${\displaystyle I[f]=\textstyle \int _{X\times Y}^{}\displaystyle V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)d{\vec {x}}dy}$

其中${\displaystyle V(f({\vec {x}},y))}$即損失函數，而${\displaystyle p({\vec {x}},y)}$為機率密度函數。而實作上概率分布${\displaystyle p({\vec {x}},y)}$通常是未知的，因此我们使用由数据样本空间中取出的${\displaystyle n}$個獨立且同分布（i.i.d.）的樣本點

${\displaystyle S=\{({\vec {x_{1}}},y_{1}),...,({\vec {x_{n}}},y_{n})\}}$作为训练集，將樣本空間所得到的经验風險做為預期風險的替代，其定義為：

${\displaystyle I_{S}[f]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}V(f({\vec {x_{i}}},y_{i}))}$

基於分類問題的二元性，可定義0-1函數做為匹配值之基準。因此損失函數為：

${\displaystyle V(f({\vec {x}},y))=H(-yf({\vec {x}}))}$

其中${\displaystyle H}$為步階函數。然而損失函數並不是凸函數或平滑函數，是一種NP-hard的問題，因此做為替代，需要使用可以追蹤的機器學習演算法（透過凸損失函數）。

分類問題之界線

使用貝式定理，可以基於問題的二元性最佳化映射公式${\displaystyle f^{*}}$ 為：

${\displaystyle f^{*}({\vec {x}})={\begin{cases}1,&{\text{if }}p(1\mid {\vec {x}})>p(-1\mid {\vec {x}})\\-1,&{\text{if }}p(1\mid {\vec {x}})<p(-1\mid {\vec {x}})\end{cases}}}$ 

當${\displaystyle p(1\mid {\vec {x}})\neq p(-1\mid {\vec {x}})}$ 

簡化分類問題預期風險

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}I[f(x)]&=\int _{X\times Y}^{}V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)d{\vec {x}}dy\\&=\int _{X}^{}\int _{Y}^{}V(f({\vec {x}},y))p({\vec {x}},y)p({\vec {x}})dyd{\vec {x}}\\&=\int _{X}^{}[V(-f({\vec {x}})p(1\mid x)+V(f({\vec {x}})p(-1\mid x)]p({\vec {x}})d{\vec {x}}\\&=\int _{X}^{}[V(-f({\vec {x}})p(1\mid x)+V(f({\vec {x}})(1-p(1\mid x))]p({\vec {x}})d{\vec {x}}\end{alignedat}}}$ 

平方損失

${\displaystyle V(f({\vec {x}},y))=(1-yf({\vec {x}}))^{2}}$ 

平方損失凸且平滑，但容易過度懲罰錯誤預測，導致收斂速度比邏輯損失和鏈結損失慢。它的優點為有助於簡化交叉驗證之正則化（regularization）。

最小化預期風險之映射函數為：

${\displaystyle f_{Square}^{*}=2p(1\mid x)-1}$ 

鏈結損失

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)=\max(0,1-yf({\vec {x}}))=|1-yf({\vec {x}})|_{+}}$ 

鏈結損失公式等同於支持向量機（SVM）的損失公式。鏈結損失凸但不平滑（在${\displaystyle yf({\vec {x}}))=1}$ 不可微分），因此不適用於梯度下降法和隨機梯度下降法，但適用次梯度下降法。 最小化預期風險之映射函數為：

${\displaystyle f_{Square}^{*}=2p(1\mid x)-1}$ 

廣義平滑鏈結損失

${\displaystyle f_{\alpha }^{*}(z)\;=\;{\begin{cases}{\frac {\alpha }{\alpha +1}}&{\text{if }}z<0\\{\frac {1}{\alpha +1}}z^{\alpha +1}-z+{\frac {\alpha }{\alpha +1}}&{\text{if }}0<z<1\\0&{\text{if }}z\geq 1\end{cases}}}$ 

其中${\displaystyle z=yf({\vec {x}})}$ 

邏輯損失

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)={\frac {1}{\ln 2}}\ln(1+e^{-yf({\vec {x}})})}$ 

適用於梯度下降法，但不會對錯誤預測做懲罰。 最小化預期風險之映射函數為：

${\displaystyle f_{\text{Logistic}}^{*}=\ln \left({\frac {p(1\mid x)}{1-p(1\mid x)}}\right).}$ 

交叉熵損失

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),t)=-t\ln(f({\vec {x}}))-(1-t)\ln(1-f({\vec {x}}))}$ 

其中${\displaystyle t=(1+y)/2}$  so that ${\displaystyle t\in \{0,1\}}$  屬於凸函數，適用於隨機梯度下降法。

指數損失

${\displaystyle V(f({\vec {x}}),y)=e^{-\beta yf({\vec {x}})}}$ 

参考资料

1. Shen, Yi, Loss Functions For Binary Classification and Class Probability Estimation (PDF), University of Pennsylvania, 2005 [6 December 2014], （原始内容 (PDF)于2019-06-14） 
2. Rosasco, Lorenzo; Poggio, Tomaso, A Regularization Tour of Machine Learning, MIT-9.520 Lectures Notes, Manuscript, 2014