细分 (图论)

在圖論中，細分（subdivision）或分割^[2]是指在一個圖的其中一條邊加入新的頂點，使這條邊轉變成由多個頂點構成之路徑的變換，又稱為擴展（expansion）^[3]，為圖子式理論中的基本運算元之一，而變換完的像稱為細分圖^[5]。

細分也可以用於將無迴路（英语：Loop (graph theory)）圖轉換成簡單圖^[1]。上圖展示了使用重心細分將偽圖（左）轉換為簡單圖（右）的一個例子。

在圖論的一般情況下，細分通常是指對邊的細分，而在一些領域中會有對面或其他結構的細分（如高維度的標記），例如重心細分（英语：Barycentric subdivision）^[6]，有時會稱為剖分及剖分圖。

定義

細分

細分是一種作用於邊上的變換，因此其需作用於特定的邊，令其記為e，並令e所連接的兩個頂點記為u和v，而細分會在頂點u和v之間加入一個新的頂點w，並使原本的邊uv改成路徑uwv則完成一次細分變換，換句話說，即先在uv邊之間加入頂點w，移除uv邊後將u和v連到w^[5]。

例如現在有一條邊，記作e，其由頂點u和v組成，記為{u,v}：

透過細分變換，產生了新的頂點w，將e分割成兩條邊，分別記為e₁和e₂，皆連到新頂點w：

而細分變換存在逆變換，稱為平滑（smoothing）變換。

細分變換的結果套用平滑變換會形成原像：

這兩種變換的共通點是，其原像與變換像互為同胚。

廣義的細分

更廣義的，細分變換不一定只加入一個頂點，只要在邊上有加入頂點的動作，都是一種細分，更精確地說，細分變換可以定義為將圖G中的某一條邊e替換為具有相同端點之路徑，且構成該路徑的頂點皆不在原本屬於圖G的頂點之中，且此路徑也不會跟其他現有的頂點相連^[7]。

細分圖

假設有二圖G和H，若圖H可以透過反覆對圖G套用細分變換而得，則圖H可以稱為圖G的細分圖^[5]。

擴展

擴展變換是指在一張圖的某個邊上，加入新的度為2之頂點，而產生的圖可以稱為原圖的擴展^[3]。

性質

當G'是G的細分時，則G'稱為G的細分圖，亦可以將G'稱為G的擴展，記為TG，其中T表示擴展變換。G的原有的頂點若其位於細分作用的邊上時，稱為TG的分支頂點（branch vertex），在細分作用的邊上加入之新的頂點稱為TG的細分頂點（subdivision vertex），細分後產生的邊稱為細分邊（subdivision edge）^[8]，並且細分頂點具有度為2的特性^[9]。

歷史

細分的概念應用於圖論，最早出現在1930年波蘭數學家卡齐米日·库拉托夫斯基提出的一類禁用準則（指滿足某種條件的圖就一定無法具有某個性質）中，其所提出的庫拉托夫斯基定理使用了細分圖的概念^[2]。

用途

細分可以用於幾個與圖論相關的證明和定理，例如判斷兩圖是否同胚以及庫拉托夫斯基定理中，對於簡單圖是否為平面圖的準則，該定理為：如果一個简单图並不包含一個是 K₅ 或 K_3,3 之細分圖的子圖，則該简单图是平面圖，反之亦然，上述兩條件為若且唯若關係^[2]。其中， K₅ 代表有 5 個點的完全圖，K_3,3 代表兩部分各 3 個點的完全二分圖，特別地，若一圖的子圖是K₅或 K_3,3之細分圖，則該子圖又稱為库拉托夫斯基子圖^[10] 。

此外，細分也可以用於將一般的圖轉換成简单图^[1]。

相關變換

細分變換在圖論中有一些不同的定義，例如重心細分（英语：Barycentric subdivision）在圖論中就不是將多邊形分割成三角形。

重心細分

在圖論中，重心細分（Barycentric subdivision）是指將圖的所有邊進行細分的變換^[11]，為一種特殊的細分變換，其變換的像總會是二分图^[12]，且是一個無迴路（英语：Loop (graph theory)）圖^[1]，而任何無迴路圖的重心細分結果皆會是簡單圖^[1]。

重心細分可以被重複套用，任何圖只要重複套用2次重心細分後結果總是簡單圖^[11]。

参见

• 同胚 (圖論)
• 图子式
• 边收缩

參考文獻

1. Yellen, Jay; Gross, Jonathan L., Graph Theory and Its Applications, Discrete Mathematics and Its Applications 2nd, Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2005, ISBN 978-1-58488-505-4 

1. Ahmad, A and Imran, M and Al-Mushayt, O and Bokhary, SAUH. (PDF). Miskolc Mathematical Notes. 2015, 16 (2): 637––646 [2019-05-11]. （原始内容 (PDF)存档于2021-01-18）. 
2. 王樹禾. 《圖論》. 科技出版社. 2004. ISBN 9787030124234. 
3. Trudeau, Richard J. Corrected, enlarged republication. New York: Dover Pub. 1993: 76 [8 August 2012]. ISBN 978-0-486-67870-2. （原始内容存档于2019-05-05）. Definition 20. If some new vertices of degree 2 are added to some of the edges of a graph G, the resulting graph H is called an expansion of G. 
4. . 教科書. 國立臺灣大學出版中心出版. 2017: 142 [2019-05-05]. ISBN 9789863502586. （原始内容存档于2021-04-13）. 
5. 演算法觀點的圖論, 2017^[4], p.142
6. Bayer, Margaret. Barycentric subdivisions. Pacific journal of mathematics (Mathematical Sciences Publishers). 1988, 135 (1): 1––16. 
7. Diestel, R. . Springer Graduate Texts in Mathematics (GTM). Reinhard Diestel. 2018 [2019-05-05]. （原始内容存档于2021-01-24）. 
8. Liu, Xiaogang and Lu, Pengli. Spectra of subdivision-vertex and subdivision-edge neighbourhood coronae. Linear Algebra and its Applications. 2012-12, 438: 3547–. doi:10.1016/j.laa.2012.12.033.  引文格式1维护：日期与年 (link)
9. 图 论: 第五版 (2018)^[7], p. 17
10. Tutte, W. T., How to draw a graph, Proceedings of the London Mathematical Society, Third Series, 1963, 13: 743–767, MR 0158387, doi:10.1112/plms/s3-13.1.743 .
11. Gross, J.L. and Yellen, J. . New York, USA: Chapman and Hall/CRC, Taylor & Francis. 2005 [2019-05-11]. ISBN 9781584885054. LCCN 2005052906. （原始内容存档于2021-01-24）. 
12. Ghodasara, GV and Rokad, AH. (PDF). International Journal of Mathematics Research. 2013, 5 (5): pp. 475–483 [2019-05-11]. ISSN 0976-5840. （原始内容 (PDF)存档于2019-02-24）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)