出入相补（又称以盈补虚）积是古中国数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理。其内容有四；
- 一个几何图形，可以切割成任意多块任何形状的小图形，总面积或体积维持不变=所有小图形面积或体积之和。
- 一个几何图形，可以任意旋转，倒置、移动、复制，面积或体积不变。
- 多个几何图形，可以任意拼合，总面积或总体积不变。
- 几何图形与其复制图形拼合，总面积或总体加倍。
出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建。“勾股各自乘，并，而开方之，即弦。勾自乘为朱方，股自乘为青方，另出入相补，各从其类，因就其余不移动也，合成弦方之幂，开方除之，即弦也。”[1]
等腰三角形面积 编辑
等腰三角形面积 等腰三角形面积第二种算法- 《九章算术·方田》第25问：“今有圭田，广十二步，正纵二十一步。问为田几何？
- 答曰：一百二十六步。”
- 《九章算术·方田》第26问：“又有圭田，广五步二分步之一，纵八步三分步之二。问：为田几何？”
- 答曰：二十三步六分步之五。
- 术曰：半广以乘正纵。
圭田指等腰三角形田。《九章算术》给出求圭田面积的公式：
圭田面积=半广以乘正纵。半广=等腰三角形底长之半，正纵指等腰三角形的高。
- 等腰三角形面积= x 等腰三角形底长x等腰三角形的高。
刘徽从出入相补予以证明：
刘徽注曰：半广者以盈补虚为直田也。亦可半正纵以乘广。按半广乘纵，以取中平之数。故广纵相乘为积步。
如图ABC 为等腰三角形田，BC 为等腰三角形底宽(广)，DC 为 半广 = ，AD 为等腰三角形的高(正纵)。
以盈补虚为直田：将三角形ABC按中线等分为两个相等的三角形ABD,ADC。将实三角形ABD 经平移和1800 转动，填补虚三角形ADC，成为一个长方形AECD。三角形ABC的面积=长方形AECD的面积=DC（半广） x AD（正纵）。 圭田面积=半广以乘正纵=DC x AD。
第二法：从三角形ABC底线作长方形BCFE，其高度BE= 三角形高度AD/2。从三角形顶点A作垂直平分线AD，与长方形顶线EF相交于M点。将盈三角形AML移动,补上虚三角形CFL，将盈三角形AMK移动，补上虚三角形BEK，即得实长方形EFCB。所以三角形ABC的面积=长方形EFCB面积=半正纵以乘广。
任意三角形面积 编辑
出入相补如图三角形ABC底长为L，高为H,求三角形面积。
- 从B点画垂直线BD，将三角形ABC切割成两个直角三角形ABD、BCD
- 复制三角形ABD为ABE，倒置其上：
- 复制三角形BCD为BCF，倒置其上：
- 长方形ACFE面积=三角形1，2，3，4之和，
- 但三角形3面积=三角形1面积，三角形4面积=三角形2面积，
- 所有长方形ACFE面积=HxL=2X(三角形1+三角形2)=2X三角形ABC，
- 所有三角形ABC面积= HxL/2。
直角梯形面积 编辑
今有邪田……术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广 又可半正纵若广《九章算术·方田》第27问
- 今有邪田一头广三十步，一头广四十二步，正纵六十步。问，为田几何？
- 答曰：九亩一百四十四步
- 《九章算术·方田》第28问：
- 又有邪田，正广六十五步，一畔纵一百步，一畔纵七十二步。问，为田几何？
- 答曰：二十三亩七十步。
- 术曰：并两邪而半之，以乘正纵若广。又可半正纵若广，以并，亩法而一。
邪田即斜田，即一边直角一边斜的梯田。如图邪田ABCD。求面积时将两个邪田合併，成为一个长方形GBHD，从长方形正中作垂直线平分EF，将长方形等分为二。将盈三角形MCF移补虚三角形MAE，得实长方形EBFD。
由于以盈补虚，邪田ABCD面积=长方形EBFD面积=邪田正纵x(邪田上边长度+邪田下边长度)/2。
第二种方法：“又可半正纵若广，以并”：在邪田正纵中点作平行线EF；将上半部ABEF与下半步EFCD合併，成为长方形。
邪田ABCD面积=长方形GFDB面积=(AB+CD)*FD=(AB+CD)*BD/2。
梯形面积 编辑
中分箕田则为两邪田 又可并踵舌，半正踵以乘之《九章算术方田》第29问：
- 今有箕田，舌广二十步，踵广五十步，正纵一百三十五步。问：为田几何？
- 答曰：四十六亩二百三十二步半。
- 术曰：并踵舌而半之，以乘正纵。亩法而一。
- 刘徽注曰：中分箕田则为两邪田，故其术相似。又可并踵舌，半正踵以乘之。
箕田即正梯形田。 第一法： 将梯田ABCD就正中线截为两个邪田EBDF和AECF，将AECFD倒转移动到右边，与EBDF合并成为长方形EF'E'F。梯田ABCD面积=长方形EF'E'F面积=((梯田上边长度+梯田下边长度)/2) X 梯田高度。
第二法：将梯田ABCD就半高处作水平线EF，将ABCD截为两个梯形ABFE，EFDC。将上截ABFED倒转，和EFDC合并为四边形EE'AC，再从左边截出三角形ECG，移动到右边，并成长方形EE'G'G。 梯田ABCD面积=长方形EE'G'G面积=(梯形上边长度+梯形下边长度) * 梯形高度之半。
内接正十二边形面积 编辑
内接正十二边形面积= 3R2 以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂刘徽计算圆形内接正十二边形面积的公式：“以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂”。
如图 BC为内接正六边形的一边，HC为正十二边形的一边，圆的半径为AH。
- 刘徽公式： 以内接六边形一边BC 的长度 X 圆的半径AH X 3=内接正十二边形面积。
- 如圆半径=1，则内接正十二边形面积=3
利用出入相补容易证明刘徽公式。
- 作长方形FGED， 其面积= BC x AH。
- 用三角形AHC补虚三角形AGC，又以三角形CMH补虚三角形CEH，得正方形AGEH，
- 正方形AGEH面积=两个三角形AHC面积。
- 因此长方形FGED面积=2X 正方形AGEH面积=4X三角形AHC面积。
- 内接正十二边形面积=12 X三角形AHC 面积 = 3 X 方形FGED面积 =3X 正六边形边长 X 半径。
推广为 圆内接2N 边形的面积 = x半径 x N边形一边的长度。
刘徽还计算出半径一尺圆形内接正96边形面积=313.9344方寸，内接正192边形面积=314.1024方寸
梯形立体体积 编辑
梯形堤体积《九章算术》卷第五商功：“今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺。问：积几何？”
刘徽术文：“并上下广而半之者，以盈补虚，得中平之广，以高若深乘之，得一头之立幂，又以袤乘之，得立实之积。”
参考文献 编辑
出入相补, 又称以盈补虚, 积是古中国数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理, 其内容有四, 一个几何图形, 可以切割成任意多块任何形状的小图形, 总面积或体积维持不变, 所有小图形面积或体积之和, 一个几何图形, 可以任意旋转, 倒置, 移动, 复制, 面积或体积不变, 多个几何图形, 可以任意拼合, 总面积或总体积不变, 几何图形与其复制图形拼合, 总面积或总体加倍, 原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建, 勾股各自乘, 而开方之, 即弦, 勾自乘为朱方, 股自乘为青方, 各从其类, 因就其余不移动也. 出入相补 又称以盈补虚 积是古中国数学中一条用于推证几何图形的面积或体积的基本原理 其内容有四 一个几何图形 可以切割成任意多块任何形状的小图形 总面积或体积维持不变 所有小图形面积或体积之和 一个几何图形 可以任意旋转 倒置 移动 复制 面积或体积不变 多个几何图形 可以任意拼合 总面积或总体积不变 几何图形与其复制图形拼合 总面积或总体加倍 出入相补原理最早由三国时代魏国数学家刘徽创建 勾股各自乘 并 而开方之 即弦 勾自乘为朱方 股自乘为青方 另出入相补 各从其类 因就其余不移动也 合成弦方之幂 开方除之 即弦也 1 目录 1 等腰三角形面积 2 任意三角形面积 3 直角梯形面积 4 梯形面积 5 内接正十二边形面积 6 梯形立体体积 7 参考文献等腰三角形面积 编辑 nbsp 等腰三角形面积 nbsp 等腰三角形面积第二种算法 九章算术 方田 第25问 今有圭田 广十二步 正纵二十一步 问为田几何 答曰 一百二十六步 九章算术 方田 第26问 又有圭田 广五步二分步之一 纵八步三分步之二 问 为田几何 答曰 二十三步六分步之五 术曰 半广以乘正纵 圭田指等腰三角形田 九章算术 给出求圭田面积的公式 圭田面积 半广以乘正纵 半广 等腰三角形底长之半 正纵指等腰三角形的高 等腰三角形面积 1 2 displaystyle 1 over 2 nbsp x 等腰三角形底长x等腰三角形的高 刘徽从出入相补予以证明 刘徽注曰 半广者以盈补虚为直田也 亦可半正纵以乘广 按半广乘纵 以取中平之数 故广纵相乘为积步 如图ABC 为等腰三角形田 BC 为等腰三角形底宽 广 DC 为 半广 D C 2 displaystyle frac DC 2 nbsp AD 为等腰三角形的高 正纵 以盈补虚为直田 将三角形ABC按中线等分为两个相等的三角形ABD ADC 将实三角形ABD 经平移和1800 转动 填补虚三角形ADC 成为一个长方形AECD 三角形ABC的面积 长方形AECD的面积 DC 半广 x AD 正纵 圭田面积 半广以乘正纵 DC x AD 第二法 从三角形ABC底线作长方形BCFE 其高度BE 三角形高度AD 2 从三角形顶点A作垂直平分线AD 与长方形顶线EF相交于M点 将盈三角形AML移动 补上虚三角形CFL 将盈三角形AMK移动 补上虚三角形BEK 即得实长方形EFCB 所以三角形ABC的面积 长方形EFCB面积 半正纵以乘广 任意三角形面积 编辑 nbsp 出入相补如图三角形ABC底长为L 高为H 求三角形面积 从B点画垂直线BD 将三角形ABC切割成两个直角三角形ABD BCD 复制三角形ABD为ABE 倒置其上 复制三角形BCD为BCF 倒置其上 长方形ACFE面积 三角形1 2 3 4之和 但三角形3面积 三角形1面积 三角形4面积 三角形2面积 所有长方形ACFE面积 HxL 2X 三角形1 三角形2 2X三角形ABC 所有三角形ABC面积 HxL 2 直角梯形面积 编辑 nbsp 今有邪田 术曰 并两邪而半之 以乘正纵若广 nbsp 又可半正纵若广 九章算术 方田 第27问 今有邪田一头广三十步 一头广四十二步 正纵六十步 问 为田几何 答曰 九亩一百四十四步 九章算术 方田 第28问 又有邪田 正广六十五步 一畔纵一百步 一畔纵七十二步 问 为田几何 答曰 二十三亩七十步 术曰 并两邪而半之 以乘正纵若广 又可半正纵若广 以并 亩法而一 邪田即斜田 即一边直角一边斜的梯田 如图邪田ABCD 求面积时将两个邪田合併 成为一个长方形GBHD 从长方形正中作垂直线平分EF 将长方形等分为二 将盈三角形MCF移补虚三角形MAE 得实长方形EBFD 由于以盈补虚 邪田ABCD面积 长方形EBFD面积 邪田正纵x 邪田上边长度 邪田下边长度 2 第二种方法 又可半正纵若广 以并 在邪田正纵中点作平行线EF 将上半部ABEF与下半步EFCD合併 成为长方形 邪田ABCD面积 长方形GFDB面积 AB CD FD AB CD BD 2 梯形面积 编辑 nbsp 中分箕田则为两邪田 nbsp 又可并踵舌 半正踵以乘之 九章算术方田 第29问 今有箕田 舌广二十步 踵广五十步 正纵一百三十五步 问 为田几何 答曰 四十六亩二百三十二步半 术曰 并踵舌而半之 以乘正纵 亩法而一 刘徽注曰 中分箕田则为两邪田 故其术相似 又可并踵舌 半正踵以乘之 箕田即正梯形田 第一法 将梯田ABCD就正中线截为两个邪田EBDF和AECF 将AECFD倒转移动到右边 与EBDF合并成为长方形EF E F 梯田ABCD面积 长方形EF E F面积 梯田上边长度 梯田下边长度 2 X 梯田高度 第二法 将梯田ABCD就半高处作水平线EF 将ABCD截为两个梯形ABFE EFDC 将上截ABFED倒转 和EFDC合并为四边形EE AC 再从左边截出三角形ECG 移动到右边 并成长方形EE G G 梯田ABCD面积 长方形EE G G面积 梯形上边长度 梯形下边长度 梯形高度之半 内接正十二边形面积 编辑 nbsp 内接正十二边形面积 3R2 nbsp 以六觚之一面乘半径 因而三之 得十二觚之幂刘徽计算圆形内接正十二边形面积的公式 以六觚之一面乘半径 因而三之 得十二觚之幂 如图 BC为内接正六边形的一边 HC为正十二边形的一边 圆的半径为AH 刘徽公式 以内接六边形一边BC 的长度 X 圆的半径AH X 3 内接正十二边形面积 如圆半径 1 则内接正十二边形面积 3利用出入相补容易证明刘徽公式 作长方形FGED 其面积 BC x AH 用三角形AHC补虚三角形AGC 又以三角形CMH补虚三角形CEH 得正方形AGEH 正方形AGEH面积 两个三角形AHC面积 因此长方形FGED面积 2X 正方形AGEH面积 4X三角形AHC面积 内接正十二边形面积 12 X三角形AHC 面积 3 X 方形FGED面积 3X 正六边形边长 X 半径 推广为 圆内接2N 边形的面积 N 2 displaystyle frac N 2 nbsp x半径 x N边形一边的长度 刘徽还计算出半径一尺圆形内接正96边形面积 313 9344方寸 内接正192边形面积 314 1024方寸梯形立体体积 编辑 nbsp 梯形堤体积 九章算术 卷第五商功 今有堤下广二丈 上广八尺 高四尺 袤一十二丈七尺 问 积几何 刘徽术文 并上下广而半之者 以盈补虚 得中平之广 以高若深乘之 得一头之立幂 又以袤乘之 得立实之积 参考文献 编辑 刘徽注 九章算术 卷第九 吴文俊主编 中国数学史大系 第三卷 第一章 第二节 刘徽的出入相补原理 146 152 186 189 ISBN 7 303 04557 0 O 取自 https zh wikipedia org w index php title 出入相补 amp oldid 56215501, 维基百科，wiki，书籍，书籍，图书馆，
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