共形對稱

在数学物理和共形場論中，时空的共形对称包括时空的龐加萊群。

共形群有15個自由度：

• 龐加萊群：10
• 特殊共形變換：4
• 位似变换：1

共形群

时空共形群有下面的表示：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&M_{\mu \nu }\equiv i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })\,,\\&P_{\mu }\equiv -i\partial _{\mu }\,,\\&D\equiv -ix_{\mu }\partial ^{\mu }\,,\\&K_{\mu }\equiv i(x^{2}\partial _{\mu }-2x_{\mu }x_{\nu }\partial ^{\nu })\,,\end{aligned}}}$ 

龐加萊群：${\displaystyle M_{\mu \nu }}$ 是勞侖茲群的生成集合、${\displaystyle P_{\mu }}$  生成平移

${\displaystyle D}$  生成位似变换

${\displaystyle K_{\mu }}$  生成特殊形转换

交換子

交換子是：^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}&[D,K_{\mu }]=-iK_{\mu }\,,\\&[D,P_{\mu }]=iP_{\mu }\,,\\&[K_{\mu },P_{\nu }]=2i(\eta _{\mu \nu }D-M_{\mu \nu })\,,\\&[K_{\mu },M_{\nu \rho }]=i(\eta _{\mu \nu }K_{\rho }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu })\,,\\&[P_{\rho },M_{\mu \nu }]=i(\eta _{\rho \mu }P_{\nu }-\eta _{\rho \nu }P_{\mu })\,,\\&[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=i(\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho })\,,\end{aligned}}}$ 

舉例（特殊共形變換）：^[2]

${\displaystyle x^{\mu }\to {\frac {x^{\mu }-a^{\mu }x^{2}}{1-2a\cdot x+a^{2}x^{2}}}}$ 

${\displaystyle {\frac {{x}'^{\mu }}{{x'}^{2}}}={\frac {x^{\mu }}{x^{2}}}-a^{\mu },}$ 

 

平面格子

 

特殊共形變換後

应用

• 共形場論^[3]、场 (物理)
• 普遍性、相變
• 二维湍流、雷诺数
• 粒子物理學、N=4超对称杨-米尔斯的理论、世界面、弦理论

相關條目

• 共形映射
• 共形群（英语：Conformal group）（推广）
• 重整化群

参考文献

1. Di Francesco; Mathieu, Sénéchal. Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. 1997: 98. ISBN 978-0-387-94785-3. 
2. Di Francesco; Mathieu, Sénéchal. Conformal field theory. Graduate texts in contemporary physics. Springer. 1997: 97. ISBN 978-0-387-94785-3. 
3. Juan Maldacena; Alexander Zhiboedov. Constraining conformal field theories with a higher spin symmetry. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. 2013, 46 (21): 214011 [2020-03-07]. Bibcode:2013JPhA...46u4011M. arXiv:1112.1016  . doi:10.1088/1751-8113/46/21/214011. （原始内容于2014-02-02）.