停时

在概率论中，尤其在随机过程的研究中，停时是一种特殊的“随机时刻”。

停时的一个范例: 布朗运动的首中时

停止规则和停时理论常在概率论和统计学中被提到和应用，其中著名的有可选抽样定理（英语：Optional stopping theorem）。停时同时在数学证明中也被频繁应用——“驯服时间这一连续统” ^[1]。

定义

对于一列随机变量 ${\displaystyle \{X_{1},X_{2},...\}}$ ，停时 ${\displaystyle \tau }$  是一个随机变量：对 ${\displaystyle \forall t\in \{0,1,2,...\}\cup \{\infty \},\tau =t}$  能否出现仅依赖于 ${\displaystyle X_{1},X_{2},...,X_{t};P(\tau <\infty )=1}$ ，即 ${\displaystyle \tau }$  是几乎必然有限的——尽管有部分书的作者忽略了这个条件。停时在决策论中亦有出现，称为停时规则，其中停止规则被描述为在彼时位置和已发生的事件已知的情形下对继续还是停止一个过程的决定机制，而且几乎总是会产生在某时刻停止的决定。

另外，更一般化的定义可以σ域流（英语：Filtration (mathematics)）的形式给出：设 ${\displaystyle (I,\leq )}$  是一个偏序集（常常使用 ${\displaystyle I=[0,\infty )}$  或其一个紧子集）， ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathcal {F}}_{t},\mathbb {P} )}$  是一个有过滤结构的概率空间，则随机变量 ${\displaystyle \tau :\Omega \to I}$  被称为一个停时，若 ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle t}$  ${\displaystyle \in }$  ${\displaystyle I}$ ，${\displaystyle \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}}$ 。为了防止混淆，我们称其为 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ -停时，并明确指定其筛选规则。

也就是说，${\displaystyle \tau }$  作为停时，根据对 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$  的了解，我们可以判断 ${\displaystyle \{\tau \leq t\}}$  是否已经发生。

例子

为了解释一些是或不是停时的随机时刻，考虑一个玩轮盘赌的赌徒，其具有典型的赌场优势，初始时刻赌资为100元：

• 赌且只赌一次，对应于停时${\displaystyle \tau }$  = 1，且这是一个停止规则（在停时概念中决定何时停止的规则或条件）。
• 当赌徒破产或赢得500元钱时停止赌博是一个停止规则。
• 当赌徒获得他所能赢得的最大赌资(此时刻之前以及之后)时停止赌博不是一个停止规则，且不提供一个停止规则：因为它不仅需要此刻和过去的信息，还需要将来的信息。
• 当赌徒使其赌资翻倍时（资产为负时若必要则允许贷款）不是一个停止规则，因为只有单边，而且他永远不能使他的赌资翻倍的概率是正的。（这里假设存在限制使得备注诀窍体系（加倍赌注法）或者其变异方法（比如将上次的赌金翻三倍下注）不能被使用。这类限制可以包括针对投注的但并不针对借款。）
• 当赌徒使其赌资翻倍或破产时停止赌博是一个停止规则，虽然赌徒赌博的总次数实际上并不一定是有限的，但，他在有限时间内停下来的概率是1。

局部化

停时经常被用来概括一些情景具备的随机过程特性，在这些情景中需要的条件只在局部意义上被满足。首先，如果 ${\displaystyle X}$  是一个（随机）过程，${\displaystyle \tau }$  是它的一个停时，那么 ${\displaystyle X^{\tau }}$  就用来表示过程 ${\displaystyle X}$  在 ${\displaystyle \tau }$  时刻停止。

${\displaystyle X_{t}^{\tau }=X_{\min(t,\tau )}}$ 

那么，${\displaystyle X}$  被认为局部满足 ${\displaystyle P}$  特性，若存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$  满足特性 ${\displaystyle P}$ 。常见的例子如下面两个，其中 ${\displaystyle I=[0,\infty )}$ ：.

• （局部鞅）过程 ${\displaystyle X}$  是一个局部鞅，若它是右连续有左极限的，且存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，使得 ${\displaystyle 1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}}}$ 对 ${\displaystyle \forall n\in N}$  是一个鞅。

• （局部可积）非负连续的过程 ${\displaystyle X}$  是局部可积的，若存在一列停时 ${\displaystyle \tau _{n}}$ ，${\displaystyle n\to \infty }$ ，使得${\displaystyle \forall n\in N}$ ，${\displaystyle \mathbb {E} (1_{\{\tau _{n}>0\}}X^{\tau _{n}})<\infty }$ 。

停时的类型

停时（表示时间的下标取自 ${\displaystyle I=[0,\infty ]}$ ）常常依据发生时间能否预测被分成几类。

若 ${\displaystyle \exists {\tau _{n}}}$ ，${\displaystyle n\in N}$ ，${\displaystyle \forall n}$  ，满足 ${\displaystyle 0<\tau _{n}<\tau _{n}+1<\tau }$ ，有${\displaystyle lim_{n\to \infty }x_{n}}$ ，则停时 ${\displaystyle \tau }$  是可预测的。${\displaystyle {\tau _{n}}}$  被称为 ${\displaystyle \tau }$  的预告，可预测的停时有时则被称作“可预告的”。例子有连续的适应过程的到达时间。取 ${\displaystyle a\in R}$ ，设 ${\displaystyle X}$  是实值连续过程，若${\displaystyle \tau }$  是第一个使得 ${\displaystyle X=a}$  的时刻，则 ${\displaystyle \tau }$  是可被 ${\displaystyle \tau _{n}}$  逼近的，即 ${\displaystyle \tau _{n}}$ 是第一个使得 ${\displaystyle |X-a|<1/n}$  的时刻。

可被一列可预测的时刻覆盖的停时称为可接近的。即，${\displaystyle \tau }$  是可接近的，若：对于部分 ${\displaystyle n}$ ，${\displaystyle P(\tau =\tau _{n})=1}$ ，其中 ${\displaystyle \tau _{n}}$  是可预测的时刻。

若停时 ${\displaystyle \tau }$ 不能被任何递增的停时序列所逼近，则称为完全不可接近的。等价地，${\displaystyle P(\tau =\sigma <\infty )=0}$ ，其中${\displaystyle \sigma }$  是任取的可预测的时刻。例如泊松跳跃。

每个停时 ${\displaystyle \tau }$  都可被惟一分解为一个可接近的时刻和一个完全不可接近的时刻。即，存在惟一的可接近的停时 ${\displaystyle \sigma }$  和惟一的完全不可接近的 ${\displaystyle \upsilon }$ ，使得凡有 ${\displaystyle \sigma <\infty }$  则 ${\displaystyle \tau =\sigma }$ ，凡有 ${\displaystyle \upsilon <\infty }$ 则 ${\displaystyle \tau =\upsilon }$ ，若 ${\displaystyle \sigma =\tau =\infty }$ ，则 ${\displaystyle \tau =\infty }$ 。在此分解结果中需要说明的是，其中的停时并不一定总是有限的，也可以等于 ${\displaystyle \infty }$ 。

参见

• 最优停止问题
• 秘书问题
• 首中时
• 停止过程
• 停车问题

参考文献

1. Chung, Kai Lai. Lectures from Markov processes to Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 249. New York: Springer-Verlag. 1982. ISBN 0-387-90618-5. 

• Revuz, Daniel and Yor, Marc. Continuous martingales and Brownian motion. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften No. 293 Third edition. Berlin: Springer-Verlag. 1999. ISBN 3-540-64325-7.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• H. Vincent Poor and Olympia Hadjiliadis. Quickest Detection First edition. Cambridge: Cambridge University Press. 2008. ISBN 9780521621045.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Protter, Philip E. Stochastic integration and differential equations. Stochastic Modelling and Applied Probability No. 21 Second edition (version 2.1, corrected third printing). Berlin: Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-00313-4. 

延伸阅读

• F. Thomas Bruss, "Sum the odds to one and stop", Annals of Probability, Vol. 4, 1384–1391,(2000)

• Shiryaev, Albert N. Optimal Stopping Rules. Springer. 2007. ISBN 3540740104.