倒頻譜

倒頻譜（cepstrum），顧名思義，就是將頻譜（spectrum）的英文前四個字母反過來寫。倒頻譜是為了某些時候，為了計算方便，將原來信號的頻譜先轉成類似分貝的單位，再作逆傅里叶变换，把它視為一種新的訊號做處理。倒頻譜有複數倒頻譜，及實數倒頻譜。

倒頻譜被定義在1963的論文（Bogert等）。定義如下：

• 字義：倒頻譜（信號）是信號頻譜取對數的傅立葉變換後的新頻譜（信號），有時候會稱頻譜的倒頻譜。
• 數學上：信號的倒頻譜 = IFT ( log ( | FT (信号) | ) + j2πm )（m為實數）
• 演算法：信号 -> 傅立叶变换 -> 取绝对值 -> 取对数 -> 相位展开 -> 逆傅立叶变换 -> 倒频谱

複數倒頻譜擁有頻譜大小跟相位的資訊，實數倒頻譜只有頻譜大小的資訊，各有各的不同應用。

複數倒頻譜與實數倒頻譜

複數倒頻譜

${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF}$ 
其中${\displaystyle {\widehat {X}}\left[F\right]=\log |X(F)|+j\arg[X(F)]}$ 
可能遭遇的問題
1. ${\displaystyle \log 0=-\infty }$ 
2. ${\displaystyle \arg[X[n]]}$ 有無限多的解
當輸入是實數時,因為${\displaystyle \log |X(F)|}$ 偶對稱，${\displaystyle \arg[X(F)]}$ 奇對稱,所以複數倒頻譜的值為實數

實數倒頻譜

${\displaystyle C\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}\log |X(F)|e^{j{2\pi }Fn}dF}$ 
可能遭遇的問題
1. ${\displaystyle \log 0=-\infty }$ 

應用

• 倒頻譜可以被視為在不同頻帶上變化速率的資訊，倒頻譜一開始被發明在地震或炸彈產生的地震回音，現今也被使用在分析雷達訊號，以及訊號處理等問題。
• 自相關倒頻譜(autocepstrum)被定義為倒頻譜的自相關性，自相關倒頻譜有時在分析處理回傳訊號時比倒頻譜還準確。
• 倒頻譜在處理人聲訊號以及音樂訊號有非常好的效果，例如梅爾頻率倒頻譜(Mel-Frequency Cepstrum)，用來做聲音的辨認，偵測音高等。近年來梅耳倒頻譜也被應用在音樂資訊的回覆。
• 倒頻譜在聲學中可以將聲帶震動的影響去除。
• 倒頻譜用在處理多路徑問題時(如聲波的迴音、電磁波的折、反射等)，如果將其他路徑干擾視為雜訊，為了消除雜訊，利用倒頻譜，不需測量每條多路徑的延遲時間，可以利用傳送多次信號，觀察其他路徑在倒頻譜上的效果，並且加以濾除。
• 語音大致上是由音高、聲帶脈衝、聲門波形所組成，我們可以利用倒頻譜將這三種元素在倒頻域上分開，以利於做語音訊號的分析。
• 倒頻譜的微分適用於影像處理上的圖形辨認(pattern recognition)。
• 倒頻譜與同型聲音理論(homomorphic sound theory)有關。

倒頻譜觀念

頻譜圖上的獨立變數是頻率，而倒頻譜圖上的獨立變數為倒頻率(quefrency)，倒頻率是一種時間的度量單位。舉個例子，聲音訊號取樣速率等於44100赫茲，在倒頻譜上有個很大的值在倒頻率等於100，代表實際上在44100/100=441赫茲有很大的值，這值出現在倒頻譜上因為頻譜上週期性出現，而頻譜上出現的週期與倒頻譜很大的值出現的位置有關。

倒濾波器

濾波器(filter)常使用在頻譜上，用來保存或刪除我們所要或不要的資訊，經過上面的許多討論，不難猜到，倒濾波器(lifter)就是在倒頻譜上所使用的濾波器。低通的倒濾波器跟低通濾波器有點類似，它可以藉由在倒頻譜上乘以一個window係數，使倒頻譜上的高倒頻率被壓抑，如此依來，當信號轉回時域空間時會變成一個較平滑的信號。

計算倒頻譜的方法

直接計算IDTFT(反離散時間傅立葉變換)

${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\widehat {X}}\left(F\right)e^{j{2\pi }F}dF}$ 
問題: ${\displaystyle {\widehat {X}}\left(F\right)}$  可能會無限大, 且對於arg(x[n])有無限多個解

利用Z轉換的零點與極點

先對信號做Z轉換, 並整理一下係數, 讓他變成下面的形式
${\displaystyle X\left(Z\right)={\cfrac {A{Z^{r}}\prod _{k=1}^{m_{i}}(1-{a_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{m_{0}}(1-{b_{k}}Z)}{\prod _{k=1}^{P_{i}}(1-{c_{k}}{Z^{-1}})\prod _{k=1}^{P_{0}}(1-{d_{k}}Z)}}}$ 
其中${\displaystyle \left|a_{k}\right|,\left|b_{k}\right|,\left|c_{k}\right|,\left|d_{k}\right|\leq 1}$ 

分子:
第一項A是係數
第二項${\displaystyle Z^{r}}$ 是延遲
第三項是位於單位圓內的零點
第四項是位於單位圓外的零點

分母:
第一項是位於單位圓內的極點
第二項是位於單位圓外的極點

對${\displaystyle X\left(Z\right)}$ 取log變成${\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)}$ 
${\displaystyle {\widehat {X}}\left(Z\right)=logX\left(Z\right)=\log A+r\log Z+\sum _{k=1}^{m_{i}}\log(1-{a_{k}}{Z^{-1}})+\sum _{k=1}^{m_{0}}\log(1-{b_{k}}Z)-\sum _{k=1}^{P_{i}}\log(1-{c_{k}}{Z^{-1}})-\sum _{k=1}^{P_{0}}\log(1-{d_{k}}Z)}$ 
假設r=0, 因為這只是延遲, 並不會破壞波形
根據Z轉換所得到的系數, 我們可以利用泰勒展開得到Z的反轉換
${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}\log A&{\mbox{if }}n=0\\-\sum _{k=1}^{m_{i}}{\cfrac {{a_{k}}^{n}}{n}}+\sum _{k=1}^{P_{i}}{\cfrac {{c_{k}}^{n}}{n}}&{\mbox{if }}n>0\\\sum _{k=1}^{m_{0}}{\cfrac {{b_{k}}^{-n}}{n}}-\sum _{k=1}^{P_{0}}{\cfrac {{d_{k}}^{-n}}{n}}&{\mbox{if }}n<0\end{cases}}}$ 

注意事項
1.${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]}$ 總是IIR(無限脈衝響應)
2.對於FIR(有限脈衝響應)的情況, ${\displaystyle c_{k}=0,d_{k}=0}$ 

利用Z轉換與微分

${\displaystyle Z\cdot {\widehat {X}}'\left(Z\right)=Z\cdot {\cfrac {{X}'\left(Z\right)}{{X}\left(Z\right)}}}$ 
${\displaystyle Z{X}'\left(Z\right)=Z{\widehat {X}}'\left(Z\right)\cdot {X}\left(Z\right)}$ 
對其做Z的反轉換
${\displaystyle nx[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }k{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]}$ 
故
${\displaystyle x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n\neq 0}$ 

分別對於x[n]的四種不同的狀況做延伸
1.對於x[n]是因果(causal)和最小相位(minimum phase) i.e. ${\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]=0,n<0}$ 
對於${\displaystyle x[n]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n\neq 0}$ 
可得出
${\displaystyle x[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n>0}$ 
故
${\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]x[0]+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]}$ 
2.對於x[n]是最小相位(minimum phase)
${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n<0\\{\cfrac {x[n]}{x[0]}}-\sum _{k=0}^{n-1}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]{\cfrac {x[n-k]}{x[0]}}&{\mbox{if }}n>0\\\log A&{\mbox{if }}n=0\end{cases}}}$ 
3.對於x[n]是反因果(anti-causal)且最大相位(maximum phase) i.e. ${\displaystyle x[n]={\widehat {x}}\left[n\right]=0,n>0}$ 
${\displaystyle {\begin{aligned}x[n]&=\sum _{k=n}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\quad for\ n<0\\&={\widehat {x}}\left[n\right]x[0]+\sum _{k=n+1}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]x[n-k]\\\end{aligned}}}$ 
4.對於x[n]是最大相位(maximum phase)
${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]={\begin{cases}0&{\mbox{if }}n>0\\{\cfrac {x[n]}{x[0]}}-\sum _{k=n+1}^{0}{\cfrac {k}{n}}{\widehat {x}}\left[k\right]{\cfrac {x[n-k]}{x[0]}}&{\mbox{if }}n<0\\\log A&{\mbox{if }}n=0\end{cases}}}$ 

特性

1. 複數倒頻譜至少以${\displaystyle {\frac {1}{n}}}$ 的速度衰退
${\displaystyle |{\widehat {x}}\left[n\right]|=c|{\frac {{\alpha }^{n}}{n}}|\quad -\infty <n<\infty }$ 
其中 ${\displaystyle \alpha =max(a_{k},b_{k},c_{k},d_{k})}$ 
2. 如果X(Z)沒有在單位圓以外的零點和極點, 則
${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=0\quad for\ all\ n<0}$ 
因為${\displaystyle b_{k},d_{k}=0}$ 
3. 如果X(Z)沒有在單位圓以內的零點和極點, 則
${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]=0\quad for\ all\ n>0}$ 
因為${\displaystyle a_{k},c_{k}=0}$ 
4. 如果x[n]是有限長度, 則${\displaystyle {\widehat {x}}\left[n\right]}$ 是無限長度

梅爾頻率倒頻譜

梅爾頻率倒頻譜是倒頻譜的一種應用，梅爾頻率倒頻譜常應用在聲音訊號處理，對於聲音訊號處理比倒頻譜更接近人耳對聲音的分析特性，而梅爾頻率倒頻譜與倒頻譜的差別在於:

1. 梅爾頻率倒頻譜的頻帶分析是根據人耳聽覺特性所設計，人耳對於頻率的分辨能力，是由頻率的"比值"決定，也就是說，人耳對200赫茲和300赫茲之間的差別與2000赫茲和3000赫茲之間的差別是相同的。
2. 梅爾頻率倒頻譜是針對訊號的能量取對數，而倒頻譜是針對訊號原始在頻譜上的值取對數。
3. 梅爾頻率倒頻譜是使用離散餘弦轉換，倒頻譜是用離散傅立葉變換。
4. 梅爾頻率倒頻譜係數足夠描述語音的特徵。

梅爾頻率倒頻譜係數(MFCCs)的推導步驟：

1. 將信號做傅立葉變換
2. 頻譜上的值取絕對值再平方成為能量，在乘上頻譜上對應的梅爾頻率倒頻譜三角重疊窗(window)的係數。
3. 對每個梅爾頻率取對數。
4. 作離散餘弦轉換。
5. 求得梅爾頻率倒頻譜係數。

梅爾頻率倒頻譜應用

• 梅爾頻率倒頻譜係數常利用在辨認語音技術上，例如辨認電話中說話的人的身份。
• 利用每種樂風、或樂器在梅爾頻域上有不同特性來分析音樂的種類與類型，並且可以加以分類。

雜訊敏感性

梅爾頻率倒頻譜係數很容易被外來的雜訊所破壞，因此有些研究結果指出，在求梅爾頻率倒頻譜係數時，在作離散餘弦轉換前，提升適當的能量(大約2或3倍)，以減少雜訊在低能量成份的影響。

梅爾頻率倒頻譜優點

相較於原始的倒頻譜

• 有絕對值平方

卷積

倒頻譜領域上的一項重要的特性為二信號卷積之產生，其產生之程序為二倒頻譜值(cepstra)之相加：

${\displaystyle x_{1}*x_{2}\rightarrow x'_{1}+x'_{2}}$ 

微分倒頻譜(differential cepstrum)

定義

${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}(n)=Z^{-1}{\frac {X'(Z)}{X(Z)}}}$  或 ${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=\int _{-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}{\frac {X'(F)}{X(F)}}e^{i2\pi F}dF}$ 

${\displaystyle ({\frac {d}{dZ}}{\widehat {X}}_{d}(Z)={\frac {d}{dZ}}logX(Z)={\frac {X'(Z)}{X(Z)}})}$ 
If ${\displaystyle x(n)=x_{1}(n)*x_{2}(n)}$ 
${\displaystyle X(Z)=X_{1}(Z)X_{2}(Z)}$ 
${\displaystyle X'(Z)=X_{1}'(Z)X_{2}(Z)+X_{1}(Z)X_{2}'(Z)}$ 
${\displaystyle {\frac {X'(Z)}{X(Z)}}={\frac {X_{1}'(Z)}{X_{1}(Z)}})+{\frac {X_{2}'(Z)}{X_{2}(Z)}})}$ 
${\displaystyle \therefore {\widehat {x}}_{d}(n)={\widehat {x}}_{1d}(n)+{\widehat {x}}_{2d}(n)}$ 
優點: (a)沒有模糊的相位 (b)可以處理延遲問題

特性

(1)微分倒頻譜在shift和scaling時，結果不改變。
ex: ${\displaystyle y[n]=AX[n-r]}$ 
${\displaystyle \Rightarrow {\widehat {y}}_{d}(n)={\begin{cases}{\widehat {x}}_{d}(n),n\neq 1\\-r+{\widehat {x}}_{d}(1),n=1\end{cases}}}$ 
(proof):
${\displaystyle Y(z)=Az^{-r}X(z)}$ 
${\displaystyle Y(z)=Az^{-r}X'(z)-rAz^{-r-1}X(z)}$ 
${\displaystyle {\frac {Y'(z)}{Y(z)}}={\frac {X'(z)}{X(z)}}-rz^{-1}}$ 
(2)複數倒頻譜${\displaystyle {\widehat {C}}[n]}$  與 微分倒頻譜 ${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]}$ 和原訊號x[n]有關
${\displaystyle {\widehat {C}}(n)={\frac {-{\widehat {x}}_{d}(n+1)}{n}},n\neq 0}$  diff cepstrum
${\displaystyle -(n-1)x(n-1)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\widehat {x}}_{d}(n)x(n-k)}$  recursive formula
${\displaystyle \Rightarrow }$ 複數頻譜做得到的事情, 微分倒頻譜也做得到
(3)如果x[n]是最小相位(minimum phase),則${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=0}$ ,當${\displaystyle n\leq 0}$ 
minimum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓外
(4)如果x[n]是最大相位(maximum phase),則${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]=0}$ ,當${\displaystyle n\geq 2}$ 
maximum phase 意思為 no poles 或 zeros 在單位圓內
(5)如果x(n)為有限區間,則${\displaystyle {\widehat {x}}_{d}[n]}$ 為無限區間

• 複數倒頻譜的衰減率反比於n
• 微分倒頻譜的衰減率下降

${\displaystyle \therefore {\widehat {x}}_{d}(n+1)=n{\widehat {c}}(n)\varpropto n{\frac {1}{n}}=1}$ 

範例

• ${\displaystyle x[0]=1,x[1]=0.5}$  ,otherwise 0 , Find its cepstrum.

${\displaystyle x[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad X(Z)\quad {\stackrel {log}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {x}}[n]}$ 

step 1. Z transform: ${\displaystyle X(Z)=1+0.5Z^{-1},pole=-0.5}$ 
step 2. log: ${\displaystyle {\widehat {X}}(Z)=\sum _{k=1}^{m_{i}}log(1-(-0.5Z^{-1}))}$ 
step 3. reverse Z transform: ${\displaystyle {\widehat {x}}[n]=\sum _{n=0}^{N}-{\frac {-0.5^{n}}{n}},n>0}$ 

• ${\displaystyle {\widehat {x}}[0]=1}$  ,otherwise 0 , Find its inverse cepstrum.

${\displaystyle {\widehat {x}}[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {exp}{\longrightarrow }}\quad {X}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {x}[n]}$ 

step 1. Z transform: ${\displaystyle {\widehat {X}}[n]=Z^{-1}}$ 
step 2. exp: ${\displaystyle e({\frac {1}{z}})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\frac {1}{z^{n}}}{n!}}}$ 
step 3. reverse Z transform: ${\displaystyle x[n]={\begin{cases}{\frac {1}{n!}},n\geq 0\\0,otherwise\\\end{cases}}}$ 

• Suppose that an IIR filter is ${\displaystyle H(Z)={\frac {2z^{3}-4z^{2}-z+2}{2z^{2}-2z+1}}}$ 

${\displaystyle x[n]\quad {\stackrel {Ztransform}{\longrightarrow }}\quad X(Z)\quad {\stackrel {log}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {X}}(Z)\quad {\stackrel {Z^{-1}}{\longrightarrow }}\quad {\widehat {x}}[n]}$ 

step 1. Z transform: ${\displaystyle H(Z)={\frac {(-2)(z)(z-{\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})(z+{\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})(1-{\frac {1}{2}}z)}{(1-{\frac {1+j}{2}}z^{-1})(1-{\frac {1-j}{2}}z^{-1})}}}$ 
step 2. log: ${\displaystyle {\widehat {H}}(Z)=log(-2)+3log(z)+log(1\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}z^{-1})+log(1-{\frac {1}{2}}z)-log(1-{\frac {1\pm j}{2}}z^{-1})}$ 
step 3. reverse Z transform: ${\displaystyle {\widehat {h}}[n]={\begin{cases}log(-2),n=0\\\displaystyle {-{\frac {{({\frac {\sqrt {2}}{2}})}^{n}+{({\frac {-{\sqrt {2}}}{2}})}^{n}}{n}}+{\frac {{({\frac {1+j}{2}})}^{n}+{({\frac {1-j}{2}})}^{n}}{n}},n>0}\\\displaystyle {\frac {{({\frac {1}{2}})}^{-n}}{n}},n<0\\\end{cases}}}$ 

${\displaystyle }$

參考文獻

1. B. P. Bogert, M. J. R. Healy, and J. W. Tukey: "The quefrency analysis of time series for echoes: cepstrum, pseudo-autocovariance, cross-cepstrum, and saphe cracking". Proceedings of the Symposium on Time Series Analysis (M. Rosenblatt, Ed) Chapter 15, 209-243. New York: Wiley, 1963.
2. D. G. Childers, D. P. Skinner, R. C. Kemerait, "The Cepstrum: A Guide to Processing（页面存档备份，存于互联网档案馆）," Proceedings of the IEEE, Vol. 65, No. 10, October 1977, pp. 1428-1443.
3. Jian-Jiun Ding, Advanced Digital Signal Processing class note,the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2008