信賴區間

在统计学中，一个概率样本的置信区间（英語：confidence interval，CI），是对产生这个样本的总体的参数分布（parametric distribution）中的某一个未知母數值，以区间形式给出的估计。相对于点估计（point estimation）用一个样本统计量来估计参数值，置信区间还蕴含了估计的精确度的信息。在现代机器学习中越来越常用的置信集合（confidence set）概念是置信区间在多维分析的推广^[1]。

置信区间在频率学派中间使用，其在贝叶斯统计中的对应概念是可信区间（英语：credible interval）（credible interval）。两者建立在不同的概念基础上的，贝叶斯统计将分布的位置参数视为随机变量，并对给定观测到的数据之后未知参数的后验分布进行描述，故无论对随机样本还是已观测数据，构造出来的可信区间，其可信水平都是一个合法的概率^[2]；而置信区间的置信水平，只在考虑随机样本时可以被理解为一个概率。

定义

对随机样本的定义

定义置信区间最清晰的方式是从一个随机样本出发。考虑一个一维随机变量${\displaystyle {\cal {X}}}$ 服从分布${\displaystyle {\cal {F}}}$ ，又假设${\displaystyle \theta }$ 是${\displaystyle {\cal {F}}}$ 的参数之一。假设我们的数据采集计划将要独立地抽样${\displaystyle n}$ 次，得到一个随机样本${\displaystyle \{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ ，注意这里所有的${\displaystyle X_{i}}$ 都是随机的，我们是在讨论一个尚未被观测的数据集。如果存在统计量（统计量定义为样本${\displaystyle X=\{X_{1},\ldots ,X_{n}\}}$ 的一个函数，且不得依赖于任何未知参数）${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 满足${\displaystyle u(X_{1},\ldots ,X_{n})<v(X_{1},\ldots ,X_{n})}$ 使得：

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\theta \in \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)\right)=1-\alpha }$ 

则称${\displaystyle \left(u(X_{1},\ldots ,X_{n}),v(X_{1},\ldots ,X_{n})\right)}$ 为一个用于估计参数${\displaystyle \theta }$ 的${\displaystyle 1-\alpha }$ 置信区间，其中的，${\displaystyle 1-\alpha }$ 称为置信水平，${\displaystyle \alpha }$ 在假设检验中也称为显著性水平。

对观测到的数据的定义

接续随机样本版本的定义，现在，对于随机变量${\displaystyle {\cal {X}}}$ 的一个已经观测到的样本${\displaystyle \{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ，注意这里用小写x表记的${\displaystyle x_{i}}$ 都是已经观测到的数字，没有随机性了，定义基于数据的${\displaystyle 1-\alpha }$ 置信区间为：

${\displaystyle \left(u(x_{1},\ldots ,x_{n}),v(x_{1},\ldots ,x_{n})\right)}$ 

注意，置信区间可以是单尾或者双尾的，单尾的置信区间中设定${\displaystyle u=-\infty }$ 或者${\displaystyle v=+\infty }$ ，具体前者还是后者取决于所构造的置信区间的方向。

初学者常犯一个概念性错误，是将基于观测到的数据所同样构造的置信区间的置信水平，误认为是它包含真实未知参数的真实值的概率。正确的理解是：置信水平只有在描述这个同样构造置信区间的过程（或称方法）的意义下才能被视为一个概率。一个基于已经观测到的数据所构造出来的置信区间，其两个端点已经不再具有随机性，因此，类似的构造的间隔将会包含真正的值的比例在所有值中，其包含未知参数的真实值的概率是0或者1，但我们不能知道是前者还是后者^[3]。

例子

例1：正态分布，已知总体方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 

${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平的正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x}}-z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+z_{\alpha /2}{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$  (双尾)

${\displaystyle \left(-\infty ,{\bar {x}}+z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}}\right)}$  (单尾)

${\displaystyle \left({\bar {x}}-z_{\alpha }{\frac {\sigma }{\sqrt {n}}},+\infty \right)}$  (单尾)

以下为方便起见，只列出双尾置信区间的例子，且区间中用"${\displaystyle \pm }$ "进行简记：

例2：正态分布，未知总体方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$ 

${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平的双尾正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x}}\pm t_{n-1;\alpha /2}{\frac {s}{\sqrt {n}}}\right)}$ 

例3：两个独立正态样本

設有兩個獨立正態樣本${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，样本大小为${\displaystyle m}$ 和${\displaystyle n}$ ，估计总体均值之差${\displaystyle \mu _{1}-\mu _{2}}$ ，假设总体方差未知但相等：${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{2}}$ (如果未知且不等就要应用Welch公式（英语：Welch's t-test）来确定t分布的自由度) ${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平的双尾正态置信区间为：

${\displaystyle \left({\bar {x}}-{\bar {y}}\pm t_{m+n-2;\alpha /2}\cdot s_{p}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}}\right)}$ ，其中${\displaystyle s_{p}={\sqrt {\frac {(m-1)s_{x}^{2}+(n-1)s_{y}^{2}}{m+n-2}}}}$ 且${\displaystyle s_{x},s_{y}}$ 分别表示${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 的样本标准差。

常見誤解

 

從常態分佈產生的50個樣本中得出的50個信賴區間

信賴區間及信心水準常被誤解，出版的研究也顯示出既使是專業的科學家也常做出錯誤的詮釋。^{[4][5][6][7][8][9]}

• 以95%的信賴區間來說，建構出一個信賴區間，不代表分佈的參數有95%的機率會落在該信賴區間內（也就是說該區間有95%的機率涵蓋了分佈參數）。 ^[10]依照嚴格的頻率學派詮釋，一旦信賴區間被建構完全，此區間不是涵蓋了參數就是沒涵蓋參數，已經沒有機率可言。95%機率指的是建構信賴區間步驟的可靠性，不是針對一個特定的區間。^[11]內曼本人（信賴區間的原始提倡者）在他的原始論文提出此點：^[12]

  「在上面的敘述中可以注意到，機率是指統計學家在未來關心的估計問題。事實上，我已多次說明，正確結果的頻率會趨向於α。考慮到一個樣本已被抽取，[特定端點]也已被計算完成。我們能說在這個特定的例子裡真值[落到端點中]的機率等於α嗎？答案明顯是否定的。參數是未知的常數，無法做出對其值的機率敘述……」

Deborah Mayo針對此點進一步說道：^[13]

「無論如何必須強調，在看到[資料的]數值後，Neyman–Pearson理論從不允許做出以下結論，特定產生的信賴區間涵蓋了真值的機率或信心為(1 − α)100%。Seidenfeld的評論似乎源於一種（並非不尋常的）期望，Neyman–Pearson信賴區間能提供他們無法合理提供的，也就是未知參數落入特定區間的機率大小、信心高低或支持程度的測度。隨著Savage (1962)之後，參數落入特定區間的機率可能是指最終精密度的測度。最終精密度的測度令人嚮往而且信賴區間又常被(錯誤地)解釋成可提供此測度，然而此解釋是不被保證的。無可否認的，『信賴』二字助長了此誤解。」

• 95%信賴區間不代表有95%的樣本資料落在此信賴區間。
• 信賴區間不是樣本參數的可能值的確定範圍，雖然它常被啟發為可能值的範圍。
• 從一個實驗中算出的一個95%信賴區間，不代表從不同實驗得到的樣本參數有95%落在該區間中 ^[8]

构造法

一般来说，置信区间的构造需要先找到一个枢轴变量（pivotal quantity，或称pivot），其表达式依赖于样本以及待估计的未知参数(但不能依赖于总体的其它未知参数)，其分布不依赖于任何未知参数。

下面以上述例2为例，说明如何利用枢轴变量构造置信区间。对于一个正态分布的随机样本${\displaystyle {X_{1},\ldots ,X_{n}}}$ ，可以证明(此证明对初学者并不容易)如下统计量互相独立：

${\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}}$  和 ${\displaystyle S^{2}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}}{n-1}}}$ 

它们的分布是：

${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}\sim N(0,1)}$  和 ${\displaystyle (n-1){\frac {S^{2}}{\sigma ^{2}}}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ 

所以根据t分布的定义，有

${\displaystyle t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}\sim t_{n-1}}$ 

于是反解如下等式左边括号中的不等式

${\displaystyle \mathbb {P} \left(-t_{n-1;\alpha /2}<t={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S{\sqrt {n}}}}<t_{n-1;\alpha /2}\right)=1-\alpha }$ 

就得到了例2中双尾置信区间的表达式。

与参数检验的联系

有时，置信区间可以用来进行母數检验。例如在上面的例1中构造的双尾${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平置信区间，可以用来检验具有相应的显著水平为${\displaystyle \alpha }$ 的双尾對立假說，具体地说是如下检验： 正态分布总体，知道总体方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ，在${\displaystyle \alpha }$ 显著水平下检验：

${\displaystyle H_{0}:\mu =\mu _{0}}$  vs ${\displaystyle H_{1}:\mu \neq \mu _{0}}$ 

检验方法是：当（且仅当）相应的${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平置信区间不包含${\displaystyle \mu _{0}}$ 时拒绝零假设${\displaystyle H_{0}}$ 

例1中构造的双尾${\displaystyle 1-\alpha }$ 水平置信区间也可以用来检验如下两个显著水平为${\displaystyle \alpha /2}$ 的单尾对立假设：

${\displaystyle H_{0}:\mu \leq \mu _{0}}$  vs ${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0}}$ 

和

${\displaystyle H_{0}:\mu \geq \mu _{0}}$  vs ${\displaystyle H_{1}:\mu <\mu _{0}}$ 

检验方法是完全类似的，比如对于上述第一个单尾检验${\displaystyle H_{1}:\mu >\mu _{0}}$ ，当且仅当双尾置信区间的左端点大于${\displaystyle \mu _{0}}$ 时拒绝零假设。

参考文献

1. Brittany Terese Fasy; Fabrizio Lecci; Alessandro Rinaldo; Larry Wasserman; Sivaraman Balakrishnan; Aarti Singh. Confidence sets for persistence diagrams. The Annals of Statistics. 2014, 42 (6): 2301–2339. 
2. Box, George EP; Tiao, George C. Bayesian inference in statistical analysis. John Wiley & Sons. 2011. 
3. Moore, D; McCabe, George P; Craig, B. Introduction to the Practice of Statistics. San Francisco, CA: Freeman. 2012. 
4. Kalinowski, Pawel. (PDF). 2010 [2021-12-22]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-21）. 
5. (PDF). [2014-09-16]. （原始内容 (PDF)存档于2016-03-04）. 
6. Hoekstra, R., R. D. Morey, J. N. Rouder, and E-J. Wagenmakers, 2014. Robust misinterpretation of confidence intervals. Psychonomic Bulletin Review, in press. [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
7. Scientists’ grasp of confidence intervals doesn’t inspire confidence （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Science News, July 3, 2014
8. Greenland, Sander; Senn, Stephen J.; Rothman, Kenneth J.; Carlin, John B.; Poole, Charles; Goodman, Steven N.; Altman, Douglas G. Statistical tests, P values, confidence intervals, and power: a guide to misinterpretations. European Journal of Epidemiology. April 2016, 31 (4): 337–350. ISSN 0393-2990. PMC 4877414  . PMID 27209009. doi:10.1007/s10654-016-0149-3. 
9. Helske, Jouni; Helske, Satu; Cooper, Matthew; Ynnerman, Anders; Besancon, Lonni. Can Visualization Alleviate Dichotomous Thinking? Effects of Visual Representations on the Cliff Effect. IEEE Transactions on Visualization and Computer Graphics (Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)). 2021-08-01, 27 (8): 3397–3409. ISSN 1077-2626. PMID 33856998. S2CID 233230810. arXiv:2002.07671  . doi:10.1109/tvcg.2021.3073466. 
10. Morey, R. D.; Hoekstra, R.; Rouder, J. N.; Lee, M. D.; Wagenmakers, E.-J. The Fallacy of Placing Confidence in Confidence Intervals. Psychonomic Bulletin & Review. 2016, 23 (1): 103–123. PMC 4742505  . PMID 26450628. doi:10.3758/s13423-015-0947-8. 
11. . nist.gov. [2014-09-16]. （原始内容存档于2008-02-05）. 
12. Neyman, J. Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability. Philosophical Transactions of the Royal Society A. 1937, 236 (767): 333–380. Bibcode:1937RSPTA.236..333N. JSTOR 91337. doi:10.1098/rsta.1937.0005  . 
13. Mayo, D. G. (1981) "In defence of the Neyman–Pearson theory of confidence intervals" （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Philosophy of Science, 48 (2), 269–280. JSTOR 187185

参考书目

• 羅納德·費雪 (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
• 弗罗因德 (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
• 伊安·海金 (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge
• 齐平 (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
• 杰克·基弗(1977) "Conditional Confidence Statements and Confidence Estimators (with discussion)" Journal of the American Statistical Association, 72, 789–827.
• 泽西·内曼 (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability" Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380. (Seminal work.)
• G.K.罗宾逊 (1975) "Some Counterexamples to the Theory of Confidence Intervals." Biometrika, 62, 155–161.