伯努利不等式, 此條目需要擴充, 2013年8月25日, 请協助改善这篇條目, 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到, 请在擴充條目後將此模板移除, 此條目没有列出任何参考或来源, 2013年8月25日, 維基百科所有的內容都應該可供查證, 请协助補充可靠来源以改善这篇条目, 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除, 數學中的指出, 對任意整數n, displaystyle, 和任意實數x, displaystyle, displaystyle, 如果n, displaystyle, 且是偶數, 則不等式. 此條目需要擴充 2013年8月25日 请協助改善这篇條目 更進一步的信息可能會在討論頁或扩充请求中找到 请在擴充條目後將此模板移除 此條目没有列出任何参考或来源 2013年8月25日 維基百科所有的內容都應該可供查證 请协助補充可靠来源以改善这篇条目 无法查证的內容可能會因為異議提出而被移除 數學中的伯努利不等式指出 對任意整數n 1 displaystyle n geq 1 和任意實數x 1 displaystyle x geq 1 有 1 x n 1 n x displaystyle 1 x n geq 1 nx 如果n 0 displaystyle n geq 0 且是偶數 則不等式對任意實數x displaystyle x 成立 可以看到在n 0 1 displaystyle n 0 1 或x 0 displaystyle x 0 時等號成立 而對任意正整數n 2 displaystyle n geq 2 和任意實數x 1 displaystyle x geq 1 x 0 displaystyle x neq 0 有嚴格不等式 1 x n gt 1 n x displaystyle 1 x n gt 1 nx 伯努利不等式經常用作證明其他不等式的關鍵步驟 證明和推廣 编辑伯努利不等式可以用數學歸納法證明 當n 0 1 displaystyle n 0 1 nbsp 不等式明顯成立 假設不等式對正整數n displaystyle n nbsp 實數x 1 displaystyle x geq 1 nbsp 時成立 那麼 1 x n 1 1 x 1 x n 1 x 1 n x displaystyle 1 x n 1 1 x 1 x n geq 1 x 1 nx nbsp 1 n 1 x n x 2 1 n 1 x displaystyle 1 n 1 x nx 2 geq 1 n 1 x nbsp 下面是推廣到實數冪的版本 如果x gt 1 displaystyle x gt 1 nbsp 那麼 若r 0 displaystyle r leq 0 nbsp 或r 1 displaystyle r geq 1 nbsp 有 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r geq 1 rx nbsp 若0 r 1 displaystyle 0 leq r leq 1 nbsp 有 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r leq 1 rx nbsp 這不等式可以用導數比較來證明 當r 0 1 displaystyle r 0 1 nbsp 時 等式顯然成立 在 1 displaystyle 1 infty nbsp 上定義f x 1 x r 1 r x displaystyle f x 1 x r 1 rx nbsp 其中r 0 1 displaystyle r neq 0 1 nbsp 對x displaystyle x nbsp 求导得f x r 1 x r 1 r displaystyle f x r 1 x r 1 r nbsp 則f x 0 displaystyle f x 0 nbsp 當且僅當x 0 displaystyle x 0 nbsp 分情況討論 0 lt r lt 1 displaystyle 0 lt r lt 1 nbsp 則對x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp 對 1 lt x lt 0 displaystyle 1 lt x lt 0 nbsp f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp 因此f x displaystyle f x nbsp 在x 0 displaystyle x 0 nbsp 時取最大值0 displaystyle 0 nbsp 故得 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r leq 1 rx nbsp r lt 0 displaystyle r lt 0 nbsp 或r gt 1 displaystyle r gt 1 nbsp 則對x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp f x gt 0 displaystyle f x gt 0 nbsp 對 1 lt x lt 0 displaystyle 1 lt x lt 0 nbsp f x lt 0 displaystyle f x lt 0 nbsp 因此f x displaystyle f x nbsp 在x 0 displaystyle x 0 nbsp 時取最小值0 displaystyle 0 nbsp 故得 1 x r 1 r x displaystyle 1 x r geq 1 rx nbsp 在這兩種情況 等號成立當且僅當x 0 displaystyle x 0 nbsp 相關不等式 编辑下述不等式從另一邊估計 1 x r displaystyle 1 x r nbsp 對任意x r gt 0 displaystyle x mbox r gt 0 nbsp 都有 1 x r lt e r x displaystyle 1 x r lt e rx nbsp 我们知道1 x lt e x displaystyle 1 x lt e x nbsp x gt 0 displaystyle x gt 0 nbsp 因此这个不等式是平凡的 取自 https zh wikipedia org w index php title 伯努利不等式 amp oldid 68985344, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,