互相关

在统计学中，互相关有时用来表示两个随机矢量 X 和 Y 之间的协方差cov（X, Y），以与矢量 X 的“协方差”概念相区分，矢量 X 的“协方差”是 X 的各标量成分之间的协方差矩阵。

在信号处理领域中，互相关（有时也称为“互协方差”）是用来表示两个信号之间相似性的一个度量，通常通过与已知信号比较用于寻找未知信号中的特性。它是两个信号之间相对于时间的一个函数，有时也称为“滑动点积”，在模式识别以及密码分析学领域都有应用。

对于离散函数 f_i 和 g_i 来说，互相关定义为

${\displaystyle (f\star g)_{i}\equiv \sum _{j}f_{j}^{*}\,g_{i+j}}$

其中和在整个可能的整数 j 区域取和，星号表示复共轭。对于连续信号 f(x) 和 g(x) 来说，互相关定义为

${\displaystyle (f\star g,x)\equiv \int f^{*}(t)g(x+t)\,dt}$

其中积分是在整个可能的 t 区域积分。

互相关实质上类似于两个函数的卷积。

特性

• 互相关与卷积通过下式发生关系：

${\displaystyle f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)}$ 

• 互相關並不滿足交換律：

${\displaystyle (f\star g,t)=(g\star f)(-t)}$ ，

• ${\displaystyle (f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)}$ 

• 由卷積定理可推得：

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\star g\}=({\mathcal {F}}\{f\})^{*}\cdot {\mathcal {F}}\{g\}}$ ，

其中${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f\}}$ 表示${\displaystyle f}$ 的傅立葉變換。

• 如果${\displaystyle f}$ 是一个埃爾米特函數：

${\displaystyle f\star g=f*g}$ 

• 如果${\displaystyle f}$ 和${\displaystyle g}$ 都是埃爾米特函数：

${\displaystyle f\star g=g\star f}$ 

参见

• 卷积
• 相关
• 自相关
• 自协方差
• 維納－辛欽定理

外部链接

• Mathworld的互相关（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://citebase.eprints.org/cgi-bin/citations?id=oai:arXiv.org:physics/0405041^{[永久失效連結]}
• http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://ceb.nlm.nih.gov/pubs/hauser/Tompaper/tompaper.php^{[永久失效連結]}
• http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.is.ac.cn/China-Bejing2.pdf（页面存档备份，存于互联网档案馆）