二次域

在代數數論中，二次域是在有理數域${\displaystyle \mathbb {Q} }$上次數為二的數域。二次域可以唯一地表成${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$，其中${\displaystyle d}$無平方數因數。若${\displaystyle d>0}$，稱之為實二次域；否則稱為虛二次域或複二次域。虛實之分在於${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$是否為全實域

二次域的 研究肇源甚早，起初是作為二次型理論的一支。二次域是代數數論的基本對象之一，雖然如此，至今仍有一些未解猜想，如類數問題。

整數環與判別式

二次域${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ 裡的整數環${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 定義為該域中的代數整數。當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$ 時，整數環可描述為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}})}$ ，否則為${\displaystyle \mathbb {Z} ({\sqrt {d}})}$ 。當${\displaystyle d=-1}$ 時，這些整數稱為高斯整數，當${\displaystyle d=-3}$ 時，稱為艾森斯坦整數。

根據上述描述，${\displaystyle K}$ 的判別式不難計算：當${\displaystyle d\equiv 1\mod 4}$ 時判別式為${\displaystyle d}$ ，否則則為${\displaystyle 4d}$ 。

二次域上的分歧理論

設${\displaystyle K:=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})}$ ，${\displaystyle p\in \mathbb {Z} }$ 為素數。數論關注的問題是${\displaystyle (p):=p{\mathcal {O}}_{K}}$ 如何在${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$ 中分解成素理想之積。根據數域的分歧理論，應考慮以下情形：

• ${\displaystyle p}$ 是慣性的：${\displaystyle p{\mathcal {O}}_{K}}$ 仍為素理想，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p^{2}}}$ 。
• ${\displaystyle p}$ 分裂：${\displaystyle (p)}$ 為兩個相異素理想之積，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)\simeq \mathbb {F} _{p}^{2}}$ 。
• ${\displaystyle p}$ 分歧：${\displaystyle (p)}$ 為某個素理想之平方，此時${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}/(p)}$ 含有非零的冪零元。

根據之前對判別式的計算，可知${\displaystyle p}$ 分歧當且僅當${\displaystyle p}$ 整除${\displaystyle K}$ 的判別式（${\displaystyle d}$ 或${\displaystyle 4d}$ ，取決於${\displaystyle d\mod 4}$ ）；對其餘無窮多個素數，前兩個情形皆會發生，而且其機率在某種意義上相等。

素p分圆域和二次域

分圆域素p（p＞2）次根群所产生二次子域，也是伽罗瓦理论（埃瓦里斯特·伽罗瓦）的一个结论，在有理域上有惟一指数2Galois子群，，二次域特例d=-1时成称高斯整环，有判别式p的p=4N+1-P，P = 4N +3才有素分解，高斯整环分歧条件叫高斯周期（Gaussian period）。

其他的分圆域

如果一个分圆域，他们有额外的2-扭伽罗瓦群，那麽就至少包含三个二次域。一般通过分圆域二次子域的判别式D的可以得到D次单位根组成的子域（D-th roots of unity）。这表示一个事实，即二次域的前导子（conductor） 是判别式D的绝对赋值 （value） 。

参考文献

• Duncan Buell. Binary quadratic forms: classical theory and modern computations. Springer-Verlag. 1989. ISBN 0-387-97037-1.  Chapter 6.
• Pierre Samuel. Algebraic number theory. Hermann/Kershaw. 1972. 
• I.N. Stewart; D.O. Tall. Algebraic number theory. Chapman and Hall. 1979. ISBN 0-412-13840-9.  引文使用过时参数coauthors (帮助) Chapter 3.1.