乘法原理

乘法原理^[1]是組合計數的基本計數原理。簡而言之，「若有${\displaystyle a}$種方法做某事，${\displaystyle b}$種方法做另一事，則合共有${\displaystyle a\cdot b}$種方法做此兩件事。」^[2][3]

集合${\displaystyle \{A,B\}}$之元素，與集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$的元素可以組成${\displaystyle 6}$種不同組合。

舉例

設在港式粉麵店要點一碗湯粉麵，主食有三種：粗麵、幼麵、河粉，要選恰好一款；而配料有兩種選擇：雲吞、牛腩，亦要選恰好一款。問可選配搭數為何。

使用乘法原理，答案是${\displaystyle 3\times 2=6}$ ，總共有六種配搭。

抽象一點，考慮從${\displaystyle A,B,C}$ 三件物件選一，再從${\displaystyle X,Y}$ 兩件物件選一。使用乘法原理，可知總共有${\displaystyle 3\times 2=6}$ 種選法。本例中，可以窮舉所有可能性驗證：可選的組合有${\displaystyle AX,AY,BX,BY,CX,CY}$ ，共六種。

上述例子中，集合${\displaystyle \{A,B,C\}}$ 和${\displaystyle \{X,Y\}}$ 不交，即兩次選擇中，沒有選項重複出現，但這並非必要，乘法原理即使兩次選擇的選項有相同，仍然成立。從${\displaystyle \{A,B,C\}}$ 選一個元素，然後再選一次，效果等同選取了一個有序對，其兩個分量都在${\displaystyle \{A,B,C\}}$ 中，選法的總數為${\displaystyle 3\times 3=9}$ 。

應用

集合論中，乘法原理可以視為基數乘積的定義。^[2]對於集合${\displaystyle S_{1},S_{2},\ldots ,S_{n}}$ ，以${\displaystyle |S_{i}|}$ 表示${\displaystyle S_{i}}$ 的元素個數（基數），則有

${\displaystyle |S_{1}|\cdot |S_{2}|\cdots |S_{n}|=|S_{1}\times S_{2}\times \cdots \times S_{n}|,}$ 

其中${\displaystyle \times }$ 表示笛卡兒積。${\displaystyle S_{i}}$ 可以是無窮集，甚至可以考慮無窮多個集合的乘積，參見基數和選擇公理。

參見

• 加法原理是另一個基本計數原理。簡而言之，「若有${\displaystyle a}$ 種方法做某事，${\displaystyle b}$ 種方法做另一事，但只能選其一，則合共有${\displaystyle a+b}$ 種選擇。」^[4]
• 其他組合技巧

參考文獻

1. 國家教育研究院. . 雙語詞𢑥、學術名詞暨辭書資訊網. [2021-09-03]. （原始内容存档于2021-09-03）. 
2. Johnston, William, and Alex McAllister. A transition to advanced mathematics. Oxford Univ. Press, 2009. Section 5.1
3. . [December 20, 2014]. （原始内容存档于2018-10-11）. 
4. Rosen, Kenneth H., ed. Handbook of discrete and combinatorial mathematics （页面存档备份，存于互联网档案馆）. CRC pres, 1999.