中山引理

在交換代數中，中山引理是相當有用的一個技術工具。

陳述

它的眾多等價陳述之一如下：

引理（中山正）。設${\displaystyle R}$ 為含單位元的交換環，${\displaystyle I}$ 為一理想，${\displaystyle M}$ 為有限生成${\displaystyle R}$ -模。若${\displaystyle IM=M}$ ，則存在${\displaystyle r\in R}$ 滿足${\displaystyle r\equiv 1{\pmod {I}}}$ 且${\displaystyle rM=0}$ 。

推論

推論一。在上述條件下，若${\displaystyle I}$ 包含於${\displaystyle R}$ 的Jacobson根，則必然有${\displaystyle M=0}$ 。

推論二. 若${\displaystyle N}$ 是${\displaystyle M}$ 的子模，且存在有限生成的${\displaystyle M}$ 的子模${\displaystyle N'}$ 及包含於${\displaystyle R}$ 的Jacobson根的理想${\displaystyle I}$ ，使得${\displaystyle M=N+IN'}$ ，則${\displaystyle M=N}$ 。

文獻

• Atiyah, M.F. and Macdonald, I.G（1969）. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley, Reading, MA.
• Matsumura H., Commutative Algebra, 2nd ed. Benjamin/Cummings, 1980.