不可克隆原理

不可克隆原理（No-cloning theorem）是量子物理的一个重要结论，即不可能构造一个能够完全复制任意量子比特，而不对原始量子位元产生干扰的系统。量子力学的线性特征是这个原理的根本原因。

不可克隆原理是量子信息学的基础。量子信息在信道中传输，不可能被第三方复制而窃取信息而不对量子信息产生干扰。因此这个原理也是量子密码学的基石。

证明

为了证明不可克隆原理，我们首先假定，存在一个系统能够完全拷贝任意的量子比特。

${\displaystyle |\phi \rangle }$  和 ${\displaystyle |\psi \rangle }$  是两个任意的量子状态，我们要把这两个状态拷贝到另一个与他们完全无关的状态${\displaystyle |k\rangle }$ 上。我们用一个幺正算符${\displaystyle U}$ 来描述这个过程。则这个拷贝算符必须具备以下性质：

${\displaystyle U(|\phi \rangle \otimes |k\rangle )=|\phi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ 

${\displaystyle U(|\psi \rangle \otimes |k\rangle )=|\psi \rangle \otimes |\psi \rangle }$ 

内积${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle }$ 可得出以下两个等式：

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle }$ 

${\displaystyle \langle U(\phi \otimes k)|U(\psi \otimes k)\rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle }$ 

这样便得到了：

${\displaystyle \langle \phi \otimes \phi |\psi \otimes \psi \rangle =\langle \phi \otimes k|\psi \otimes k\rangle ,}$ 

${\displaystyle {\to }}$ 

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle \langle \phi |\psi \rangle =\langle \phi |\psi \rangle \langle k|k\rangle \,.}$ 

因为${\displaystyle \langle k|k\rangle =1}$ ，所以得出

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle ^{2}=\langle \phi |\psi \rangle .}$ 

这个等式仅有的两个解是${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$  和 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$ 。这意味着，要么 ${\displaystyle \phi =\psi }$  （当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =1}$ ），要么 ${\displaystyle \phi }$  与 ${\displaystyle \psi }$  正交（当 ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =0}$ )。只能够克隆相同或正交的状态，这并不是我们最初假设的任意状态的完全克隆，不可克隆原理证明完毕。

举例

无法从${\displaystyle |\psi \rangle }$ 造出${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$ 。

设状态${\displaystyle |\psi \rangle =a|0\rangle +b|1\rangle }$ 。 则${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle =a^{2}|00\rangle +ab|01\rangle +ab|10\rangle +b^{2}|11\rangle }$ 

把${\displaystyle |\psi \rangle }$ 与${\displaystyle |0\rangle }$  作为输入：

${\displaystyle |\psi \rangle |0\rangle ={\bigg (}a|0\rangle +b|1\rangle {\bigg )}|0\rangle =a|00\rangle +b|10\rangle }$ 

经过受控反閘，输出:

${\displaystyle a|00\rangle +b|11\rangle }$ 

这与${\displaystyle |\psi \rangle |\psi \rangle }$  并不相等，状态没有被复制。

参考文献

• W.K. Wootters and W.H. Zurek, A Single Quantum Cannot be Cloned （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Nature 299 (1982), pp. 802–803.
• D. Dieks, Communication by EPR devices, Physics Letters A, vol. 92(6) (1982), pp. 271–272.
• V. Buzek and M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14 (11) (2001), pp. 25–29.