三叶结

在纽结理论中，三叶结（trefoil knot）3₁是一种最简单的非平凡纽结。可以用反手結连接两个末端而达成。它是唯一一种有3个交叉的纽结。它也可以描述为 (2,3)-环面纽结。由於三葉結的結構極為簡單，它是研究紐結理論很重要的基本案例，在拓撲學、幾何學、物理學、化學領域，有廣泛的用途。

三叶结

三叶结得名于植物三叶草。

描述

三叶结可以由以下的参数方程确定：

${\displaystyle x=\sin t+2\sin 2t}$ 

${\displaystyle \qquad y=\cos t-2\cos 2t}$ 

${\displaystyle \qquad z=-\sin 3t}$ 

三叶结也可以看作(2,3)-环面纽结。对应的参数方程为：

${\displaystyle x=(2+\cos 3t)\cos 2t}$ 

${\displaystyle \qquad y=(2+\cos 3t)\sin 2t}$ 

${\displaystyle \qquad z=\sin 3t}$ 

与它们同痕的纽结还是三叶结。它们的镜像也称为三叶结。

三叶结还可以定义为${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ 中三维球面${\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1}$ 和曲线${\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}$ 的交。

性质

 

 

左手三叶结和右手三叶结

三叶结是最简单的非平凡纽结。它是一个素纽结，也是交错纽结。

三叶结有两个版本，它们互成镜像，彼此不相同痕，分别称为左手三叶结和右手三叶结。

它的亚历山大多项式是：^[1]

${\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1}}$ 

康威多项式是：

${\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1}$ 

琼斯多项式是：

${\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$ 

Kauffman多项式是：

${\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}}$ 

HOMFLY多项式是：

${\displaystyle P(a,z)=-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$ 

它的纽结群具有下述表示：^[2]

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle }$ 

或：

${\displaystyle \langle \sigma _{1},\sigma _{2}\mid \sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}\rangle }$ 

这和三股辫群是同构的。

使用三葉結設計的圖案

三叶结在1989年至2007年被用作香港亞洲電視的台徽。

國際羊毛局的純羊毛標誌是一束結為三葉結的毛線。

莫里茨·科内利斯·埃舍尔：^[3]

参见

• 莫比乌斯带
• 克莱因瓶

参考文献

1. 3_1 （页面存档备份，存于互联网档案馆）, The Knot Atlas
2. Weisstein, Eric W. (编). Trefoil Knot. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.  Accessed: May 5, 2013.
3. Recognition & Success. M.C. Escher – The Official Website. [2020-02-22]. （原始内容于2020-02-22）.