交集

数学上，两个集合${\displaystyle A}$和${\displaystyle B}$的交集是含有所有既属于${\displaystyle A}$又属于${\displaystyle B}$的元素，而没有其他元素的集合。

有限交集

 

A和${\displaystyle B}$ 的交集

交集是由公理化集合论的分類公理來確保其唯一存在的特定集合 ${\displaystyle A\cap B}$  ：

${\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}$ 

也就是直觀上：

${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集写作「${\displaystyle A\cap B}$ 」，「對所有 ${\displaystyle x}$  ， ${\displaystyle x\in A\cap B}$  等價於 ${\displaystyle x\in A}$  且 ${\displaystyle x\in B}$ 」

例如：集合${\displaystyle \{1,2,3\}}$ 和${\displaystyle \{2,3,4\}}$ 的交集为${\displaystyle \{2,3\}}$ 。数字${\displaystyle 9}$ 不属于素数集合${\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}}$ 和奇数集合${\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}}$ 的交集。

若两个集合${\displaystyle A}$ 和${\displaystyle B}$ 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$ 。例如集合${\displaystyle \{1,2\}}$ 和${\displaystyle \{3,4\}}$ 不相交，写作${\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing }$ 。

更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合${\displaystyle A,B}$ ，${\displaystyle C}$ 和${\displaystyle D}$ 的交集为${\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))}$ 。交集运算满足结合律。即：

${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C}$ 

任意交集

以上定義可根據无限并集和补集來推廣到任意集合的交集。

取一个集合 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  ，則根據分類公理可以取以下唯一存在的集合：

${\displaystyle {\bar {\mathcal {M}}}:=\left\{A\,|\,(\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})\right\}}$ 。

也就是直觀上蒐集所有 ${\displaystyle M^{c}}$  的集合， 這樣的話有：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}$ 

根據一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}$ 

但根據一阶逻辑的等式相關定理，下式：

${\displaystyle (\exists A)(A=M^{c})}$ 

顯然是個定理（也就是直觀上為真），故：

${\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M\in {\mathcal {M}})(x\notin M)}$ 

換句話說：

${\displaystyle x\in {\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}\Leftrightarrow (\forall M\in {\mathcal {M}})(x\in M)}$ 

那可以做如下的符號定義：

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {M}}:={\left(\bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\right)}^{c}}$ 

稱為 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  的任意交集或无限交集。也就是直觀上「對所有 ${\displaystyle x}$  ， ${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}}$  等價於對任何 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$  的下屬集合 ${\displaystyle M}$  ，都有 ${\displaystyle x\in M}$ 」

例如：

${\displaystyle A\cap B=\bigcap \{A,\,B\}}$ 

類似於无限并集，无限交集的表示符號也有多種

可模仿求和符号記為

${\displaystyle \bigcap _{A\in {\mathcal {M}}}A}$ 。

但大多數人會假設指标集 ${\displaystyle I}$  的存在，換句話說

若 ${\displaystyle I\,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$  則 ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$ 

在指标集 ${\displaystyle I}$  是自然数系 ${\displaystyle \mathbb {N} }$  的情况下，更可以仿无穷级数來表示，也就是說：

若 ${\displaystyle \mathbb {N} \,{\overset {A}{\cong }}\,{\mathcal {M}}}$  則 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i):=\bigcap {\mathcal {M}}}$ 

也可以更粗略直觀的將 ${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)}$  写作${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots }$ 。

参见

• 朴素集合论
• 并集
• 补集
• 对称差