默比乌斯反演公式

「莫比乌斯反演」重定向至此。關於几何上的变换，請見「莫比乌斯变换」。

定義

假設對於數論函數 ${\displaystyle f(n)}$  和 ${\displaystyle F(n)}$ ，有以下關係式：

${\displaystyle F(n)=\sum _{d|n}f(d)}$ 

則將其默比乌斯反轉公式定義為：

${\displaystyle f(n)=\sum _{d|n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)}$ 

这里 ${\displaystyle \mu }$  为默比乌斯函数，定义为：

${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}1\\(-1)^{k}\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n=1\,}$
	若${\displaystyle n\,}$ 无平方数因数，且${\displaystyle n=p_{1}p_{2}......p_{k}\,}$
	若${\displaystyle n\,}$ 有大於${\displaystyle 1\,}$ 的平方數因數

一般形式

設${\displaystyle F(x)}$ 及${\displaystyle G(x)}$ 為定義在${\displaystyle [1,\infty )}$ 上的複值函數並且

${\displaystyle G(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}F\left({\frac {x}{n}}\right)}$ 

則

${\displaystyle F(x)=\sum _{1\leqslant n\leqslant x}\mu (n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}$ 

证明

我们有 ${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\left[{\frac {n}{d}}=1\right]f(d)}$ ，其中${\displaystyle [n=1]}$ 在${\displaystyle n=1}$ 时为 1，其余点为 0。

而根据莫比乌斯函数的性质，${\displaystyle [n=1]=\sum _{d\mid n}\mu (d)}$ ，代入得到${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}\mu (m)f(d)}$ 。

由于${\displaystyle \sum _{d\mid n}\sum _{m\mid {\frac {n}{d}}}}$ 的限制条件其实就是${\displaystyle md\mid n}$ ，故等式可以写成：${\displaystyle f(n)=\sum _{m\mid n}\mu (m)\sum _{d\mid {\frac {n}{m}}}f(d)=\sum _{m\mid n}\mu (m)F({\frac {n}{m}})}$ 。

參見

• 默比乌斯函數