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黄金分割率

黃金比例(英語:golden ratio),又稱黄金分割比[1]、黄金分割率,是一個數學常數,一般以希臘字母表示[2][3][4]。可以透過以下代數式定義:

黄金分割率
黄金分割率

黃金比例的線段
命名
數字φ
名稱黄金分割率
黃金比例
黄金分割比
識別
種類無理數
符號
位數數列編號A001622
性質
以此為的多項式或函數
表示方式
1.61803...
代數形式
二进制1.100111100011011101111001
十进制1.618033988749894848204586
十六进制1.9E3779B97F4A7C15F39CC060

這也是黃金比例一名的由來。
黄金比例的準確值為,所以是无理数,而大約值則為(小數點後20位,A001622):

应用时一般取1.618,就像圆周率在应用时取3.1416一样。

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性,蕴藏着丰富的美学价值,而且呈現於不少動物植物的外觀。現今普遍很多工業產品、電子產品、建築物或藝術品均應用了黄金分割,提高其美觀性。

歷史

黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞,但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究,根据目前的文獻探討,我們可以說,黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎。但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正5邊形和正10邊形的作圖,因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則,也發現無理數。它側重於從數學關係去探討美的規律,並認為美就是和諧與比例,按照這種比例關係就可以組成美的圖案,這其實是一個數字的比例關係,即將一條線分成兩部分,較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比,它們的比例大約是1.618:1,知名的費氏數列也體現了這個數學原則,按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡。

公元前4世紀,古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題,並建立起比例理論。公元前300年前後歐幾里得撰寫《幾何原本》時吸收了歐多克索斯的研究成果,進一步系統論述了黃金分割,成為最早的有關黃金分割的論著(即中末比)[5]

中世紀後,黃金分割被披上神秘的外衣,義大利數學家卢卡·帕喬利稱中末比為神聖比例,並專門為此著書立說。德國天文學家约翰内斯·开普勒稱神聖比例為黃金分割。到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行,而證據在於德國數學家马丁·欧姆英语Martin Ohm所寫的《基本純數學》第2版注釋中寫到有關黃金比例的解釋:「人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法,稱為黃金分割」。而在1875年出版的《大英百科全書》的第9版中,蘇利有提到:「由費區那……提出的有趣、實驗性濃厚的想法宣稱,『黃金分割』在視覺比例上具有所謂的優越性。」可見黃金分割在當時已經流行了。20世紀時美國數學家马克·巴尔英语Mark Barr給它個名字叫phi。黃金分割有許多有趣的性質,人類對它的實際應用也很廣泛,造就了它今天的名氣。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法,是由美國數學家杰克·基弗英语Jack Kiefer (statistician)於1953年首先提出的,70年代在中國推廣。

基本計算

 
黃金分割是根據黃金比例,將一條線分割成兩段。總長度a+b与長度較長的a之比等于a与長度較短的b之比

兩個數值  構成黃金比例 ,如果: 

一個得出 數值的方法是從左邊的分數式入手。經過簡化和代入,

 

於是:

 

兩邊乘以 就得到:

 

即是 

找出該方程的正解,

 

黄金分割奇妙之處,在於其倒數為自身減1,即:1.618...的倒數為 ,並時常被稱為「黃金比例共軛」[6]

從上面的 得到:

 

這個0.618...的數值常用希臘字母 表示,即:

 ,亦可表達為:
 

替代或其他形式

 
藉由有限連分數或者斐波納契數列的比例中看出近似於黃金比例的倒數。

公式 可以被遞歸擴展來獲得黃金比例的連分數[7]

 

而它的倒數是:

 

平方根表示:

 

三角函數的特殊值表示[8]

 

即是:

 
 
 
 
  • 黃金分割率的乘冪與費氏數列的關係
  ,其中 為任意整數, 費氏數列的第 [註 1]

黃金分割數高精度計算程式碼

C++

#include <iostream> #include <stdio.h> using namespace std; int main() {  long b, c, d = 0, e = 0, f = 100, i = 0, j, N;  cout << "請輸入黃金分割數位數\n";  cin >> N;  N = N * 3 / 2 + 6;  long* a = new long[N + 1];  while (i <= N) a[i++] = 1;  for (; --i > 0;  i == N - 6 ? printf("\r0.61") : printf("%02ld", e += (d += b / f) / f),  e = d % f, d = b % f, i -= 2)  for (j = i, b = 0; j; b = b / c * (j-- * 2 - 1))  a[j] = (b += a[j] * f) % (c = j * 10);  delete[] a;  cin.ignore();  cin.ignore();  return 0; } 

[9]

例子

貴金屬分割

貴金屬分割即 ,其中 正整数 时为黄金分割( ), 时为白银分割 ), 时为青铜分割 )。用连分数可表示为 

参考文献

引用

  1. ^ Summerson John, Heavenly Mansions: And Other Essays on Architecture (New York: W.W. Norton, 1963) p. 37. "And the same applies in architecture, to the rectangles representing these and other ratios (e.g. the 'golden cut'). The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design."
  2. ^ Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number. New York: Broadway Books. 2002 [2016-07-12]. ISBN 0-7679-0815-5. (原始内容于2016-07-07). 
  3. ^ Piotr Sadowski. The knight on his quest: symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight. University of Delaware Press. 1996: 124 [2016-07-12]. ISBN 978-0-87413-580-0. (原始内容于2016-07-07). 
  4. ^ Richard A Dunlap, The Golden Ratio and Fibonacci Numbers, World Scientific Publishing, 1997
  5. ^ Strogatz, Steven. Me, Myself, and Math: Proportion Control. New York Times. 2012-09-24 [2016-07-12]. (原始内容于2016-02-12). 
  6. ^ Weisstein, Eric W. (编). Golden Ratio Conjugate. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  7. ^ Max. Hailperin; Barbara K. Kaiser; Karl W. Knight. Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme. Brooks/Cole Pub. Co. 1998. ISBN 0-534-95211-9. 
  8. ^ Brian Roselle, "Golden Mean Series" (页面存档备份,存于互联网档案馆
  9. ^ "黄金分割数高精度计算.pdf"[永久失效連結]

来源

註釋

  1. ^ 這可以透過   此三個等式,以及費氏數列的的遞歸定義,以數學歸納法證明。

延伸读物

  • Doczi, György. The Power of Limits: Proportional Harmonies in Nature, Art, and Architecture. Boston: Shambhala Publications. 2005 [1981]. ISBN 1-59030-259-1. 
  • Huntley, H. E. The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty. New York: Dover Publications. 1970. ISBN 0-486-22254-3. 
  • Joseph, George G. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics New. Princeton, NJ: Princeton University Press. 2000 [1991]. ISBN 0-691-00659-8. 
  • Livio, Mario. The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number Hardback. NYC: Broadway (Random House). 2002 [2002]. ISBN 0-7679-0815-5. 
  • Sahlqvist, Leif. Cardinal Alignments and the Golden Section: Principles of Ancient Cosmography and Design 3rd Rev. Charleston, SC: BookSurge. 2008. ISBN 1-4196-2157-2. 
  • Schneider, Michael S. A Beginner's Guide to Constructing the Universe: The Mathematical Archetypes of Nature, Art, and Science. New York: HarperCollins. 1994. ISBN 0-06-016939-7. 
  • Scimone, Aldo. La Sezione Aurea. Storia culturale di un leitmotiv della Matematica. Palermo: Sigma Edizioni. 1997. ISBN 978-88-7231-025-0. 
  • Stakhov, A. P. The Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science. Singapore: World Scientific Publishing. 2009. ISBN 978-981-277-582-5. 
  • Walser, Hans. The Golden Section. Peter Hilton trans. Washington, DC: The Mathematical Association of America. 2001 [Der Goldene Schnitt 1993]. ISBN 0-88385-534-8. 

外部链接

黄金分割率, 此条目的主題是數學名詞, 关于同名節目名稱, 請見, 黃金比例, 遊戲節目, 黃金比例, 英語, golden, ratio, 又稱黄金分割比, 是一個數學常數, 一般以希臘字母φ, displaystyle, varphi, 表示, 可以透過以下代數式定義, 數表, 无理数, π黃金比例的線段命名數字φ名稱黃金比例黄金分割比識別種類無理數符號φ, displaystyle, varphi, 位數數列編號, a001622性質以此為根的多項式或函數x, displaystyle, 表示方式值φ, di. 此条目的主題是數學名詞 关于同名節目名稱 請見 黃金比例 遊戲節目 黃金比例 英語 golden ratio 又稱黄金分割比 1 黄金分割率 是一個數學常數 一般以希臘字母f displaystyle varphi 表示 2 3 4 可以透過以下代數式定義 黄金分割率黄金分割率數表 无理数 2 f 3 5 dS e p黃金比例的線段命名數字f名稱黄金分割率黃金比例黄金分割比識別種類無理數符號f displaystyle varphi 位數數列編號 A001622性質以此為根的多項式或函數x 2 x 1 0 displaystyle x 2 x 1 0 表示方式值f displaystyle varphi approx 1 61803 代數形式1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 二进制1 10011110 0011 0111 0111 1001 十进制1 61803398 8749 8948 4820 4586 十六进制1 9E3779B9 7F4A 7C15 F39C C060 查论编 a b a a b def f a gt b gt 0 displaystyle frac a b a frac a b stackrel text def varphi quad a gt b gt 0 這也是黃金比例一名的由來 黄金比例的準確值為1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 所以是无理数 而大約值則為 小數點後20位 A001622 f 1 61803398874989484820 displaystyle varphi 1 61803398874989484820 ldots 应用时一般取1 618 就像圆周率在应用时取3 1416一样 黄金分割具有严格的比例性 艺术性 和谐性 蕴藏着丰富的美学价值 而且呈現於不少動物和植物的外觀 現今普遍很多工業產品 電子產品 建築物或藝術品均應用了黄金分割 提高其美觀性 目录 1 歷史 2 基本計算 2 1 替代或其他形式 3 黃金分割數高精度計算程式碼 3 1 C 4 例子 5 貴金屬分割 6 参考文献 6 1 引用 6 2 来源 6 3 註釋 7 延伸读物 8 外部链接歷史 编辑黃金比例是屬於數學領域的一個專有名詞 但是它最後涵蓋的內容不只是有關數學領域的研究 根据目前的文獻探討 我們可以說 黃金比例的發現和如何演進至今仍然是一個謎 但有研究指出公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正5邊形和正10邊形的作圖 因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割的一些規則 也發現無理數 它側重於從數學關係去探討美的規律 並認為美就是和諧與比例 按照這種比例關係就可以組成美的圖案 這其實是一個數字的比例關係 即將一條線分成兩部分 較長的一段與較短的一段之比等於全長與較長的一段之比 它們的比例大約是1 618 1 知名的費氏數列也體現了這個數學原則 按此種比例關係組成的任何事物都表現出其內部關係的和諧與均衡 公元前4世紀 古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題 並建立起比例理論 公元前300年前後歐幾里得撰寫 幾何原本 時吸收了歐多克索斯的研究成果 進一步系統論述了黃金分割 成為最早的有關黃金分割的論著 即中末比 5 中世紀後 黃金分割被披上神秘的外衣 義大利數學家卢卡 帕喬利稱中末比為神聖比例 並專門為此著書立說 德國天文學家约翰内斯 开普勒稱神聖比例為黃金分割 到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行 而證據在於德國數學家马丁 欧姆 英语 Martin Ohm 所寫的 基本純數學 第2版注釋中寫到有關黃金比例的解釋 人們習慣把按此方式將任一直線分割成兩部分的方法 稱為黃金分割 而在1875年出版的 大英百科全書 的第9版中 蘇利有提到 由費區那 提出的有趣 實驗性濃厚的想法宣稱 黃金分割 在視覺比例上具有所謂的優越性 可見黃金分割在當時已經流行了 20世紀時美國數學家马克 巴尔 英语 Mark Barr 給它個名字叫phi 黃金分割有許多有趣的性質 人類對它的實際應用也很廣泛 造就了它今天的名氣 最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0 618法 是由美國數學家杰克 基弗 英语 Jack Kiefer statistician 於1953年首先提出的 70年代在中國推廣 基本計算 编辑 黃金分割是根據黃金比例 將一條線分割成兩段 總長度a b与長度較長的a之比等于a与長度較短的b之比 兩個數值a displaystyle a 和b displaystyle b 構成黃金比例f displaystyle varphi 如果 a b a a b f displaystyle frac a b a frac a b varphi 一個得出f displaystyle varphi 數值的方法是從左邊的分數式入手 經過簡化和代入 a b a a a b a 1 b a 1 1 f displaystyle frac a b a frac a a frac b a 1 frac b a 1 frac 1 varphi 於是 1 1 f f displaystyle 1 frac 1 varphi varphi 兩邊乘以f displaystyle varphi 就得到 f 1 f 2 displaystyle varphi 1 varphi 2 即是f 2 f 1 0 displaystyle varphi 2 varphi 1 0 找出該方程的正解 f 1 5 2 1 6180339887 displaystyle varphi frac 1 sqrt 5 2 1 6180339887 ldots 黄金分割奇妙之處 在於其倒數為自身減1 即 1 618 的倒數為0 618 1 618 1 displaystyle 0 618 ldots 1 618 ldots 1 並時常被稱為 黃金比例共軛 6 從上面的1 1 f f displaystyle 1 frac 1 varphi varphi 得到 1 f f 1 displaystyle frac 1 varphi varphi 1 這個0 618 的數值常用希臘字母F displaystyle Phi 表示 即 F 1 f 1 1 61803 39887 0 6180339887 displaystyle Phi 1 over varphi 1 over 1 61803 39887 ldots 0 6180339887 ldots 亦可表達為 F f 1 1 6180339887 1 0 6180339887 displaystyle Phi varphi 1 1 6180339887 ldots 1 0 6180339887 ldots 替代或其他形式 编辑 藉由有限連分數或者斐波納契數列的比例中看出近似於黃金比例的倒數 公式f 1 1 f displaystyle varphi 1 frac 1 varphi 可以被遞歸擴展來獲得黃金比例的連分數 7 f 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 displaystyle varphi 1 1 1 1 dots 1 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 1 ddots 而它的倒數是 f 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 displaystyle varphi 1 0 1 1 1 dots 0 cfrac 1 1 cfrac 1 1 cfrac 1 1 ddots 平方根表示 f 1 1 1 1 displaystyle varphi sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 sqrt 1 以三角函數的特殊值表示 8 f 13 8 n 0 1 n 1 2 n 1 n 2 n 4 2 n 3 displaystyle varphi frac 13 8 sum n 0 infty frac 1 n 1 2n 1 n 2 n 4 2n 3 即是 f 1 2 sin p 10 1 2 sin 18 displaystyle varphi 1 2 sin pi 10 1 2 sin 18 circ f 1 2 csc p 10 1 2 csc 18 displaystyle varphi 1 over 2 csc pi 10 1 over 2 csc 18 circ f 2 cos p 5 2 cos 36 displaystyle varphi 2 cos pi 5 2 cos 36 circ f 2 sin 3 p 10 2 sin 54 displaystyle varphi 2 sin 3 pi 10 2 sin 54 circ 黃金分割率的乘冪與費氏數列的關係f n F n 1 f F n displaystyle varphi n F n 1 varphi F n 且 1 f n F n 1 f F n displaystyle 1 varphi n F n 1 varphi F n 其中n displaystyle n 為任意整數 F n displaystyle F n 是費氏數列的第n displaystyle n 項 註 1 黃金分割數高精度計算程式碼 编辑C 编辑 include lt iostream gt include lt stdio h gt using namespace std int main long b c d 0 e 0 f 100 i 0 j N cout lt lt 請輸入黃金分割數位數 n cin gt gt N N N 3 2 6 long a new long N 1 while i lt N a i 1 for i gt 0 i N 6 printf r 0 61 printf 02ld e d b f f e d f d b f i 2 for j i b 0 j b b c j 2 1 a j b a j f c j 10 delete a cin ignore cin ignore return 0 9 例子 编辑黄金分割点 黄金矩形 鹦鹉螺的内部结构 帕特农神庙 最后的晚餐 联合国总部大楼 向日葵 蝴蝶花紋貴金屬分割 编辑主条目 貴金屬分割 貴金屬分割即n n 2 4 2 displaystyle frac n sqrt n 2 4 2 其中n displaystyle n 为正整数 n 1 displaystyle n 1 时为黄金分割 1 5 2 displaystyle frac 1 sqrt 5 2 n 2 displaystyle n 2 时为白银分割 1 2 displaystyle 1 sqrt 2 n 3 displaystyle n 3 时为青铜分割 3 13 2 displaystyle frac 3 sqrt 13 2 用连分数可表示为n 1 n 1 n 1 n 1 n n n n n displaystyle n cfrac 1 n cfrac 1 n cfrac 1 n cfrac 1 ddots n n n n n dots 参考文献 编辑引用 编辑 Summerson John Heavenly Mansions And Other Essays on Architecture New York W W Norton 1963 p 37 And the same applies in architecture to the rectangles representing these and other ratios e g the golden cut The sole value of these ratios is that they are intellectually fruitful and suggest the rhythms of modular design Livio Mario The Golden Ratio The Story of Phi The World s Most Astonishing Number New York Broadway Books 2002 2016 07 12 ISBN 0 7679 0815 5 原始内容存档于2016 07 07 Piotr Sadowski The knight on his quest symbolic patterns of transition in Sir Gawain and the Green Knight University of Delaware Press 1996 124 2016 07 12 ISBN 978 0 87413 580 0 原始内容存档于2016 07 07 Richard A Dunlap The Golden Ratio and Fibonacci Numbers World Scientific Publishing 1997 Strogatz Steven Me Myself and Math Proportion Control New York Times 2012 09 24 2016 07 12 原始内容存档于2016 02 12 Weisstein Eric W 编 Golden Ratio Conjugate at MathWorld A Wolfram Web Resource Wolfram Research Inc 英语 Max Hailperin Barbara K Kaiser Karl W Knight Concrete Abstractions An Introduction to Computer Science Using Scheme Brooks Cole Pub Co 1998 ISBN 0 534 95211 9 Brian Roselle Golden Mean Series 页面存档备份 存于互联网档案馆 黄金分割数高精度计算 pdf 永久失效連結 来源 编辑 黃金比例 遠流出版公司 2004年 ISBN 957 32 5270 8 註釋 编辑 這可以透過f 2 1 f displaystyle varphi 2 1 varphi 與1 f f 1 displaystyle frac 1 varphi varphi 1 與1 1 f f displaystyle frac 1 1 varphi varphi 此三個等式 以及費氏數列的的遞歸定義 以數學歸納法證明 延伸读物 编辑Doczi Gyorgy The Power of Limits Proportional Harmonies in Nature Art and Architecture Boston Shambhala Publications 2005 1981 ISBN 1 59030 259 1 Huntley H E The Divine Proportion A Study in Mathematical Beauty New York Dover Publications 1970 ISBN 0 486 22254 3 Joseph George G The Crest of the Peacock The Non European Roots of Mathematics New Princeton NJ Princeton University Press 2000 1991 ISBN 0 691 00659 8 Livio Mario The Golden Ratio The Story of PHI the World s Most Astonishing Number Hardback NYC Broadway Random House 2002 2002 ISBN 0 7679 0815 5 Sahlqvist Leif Cardinal Alignments and the Golden Section Principles of Ancient Cosmography and Design 3rd Rev Charleston SC BookSurge 2008 ISBN 1 4196 2157 2 Schneider Michael S A Beginner s Guide to Constructing the Universe The Mathematical Archetypes of Nature Art and Science New York HarperCollins 1994 ISBN 0 06 016939 7 Scimone Aldo La Sezione Aurea Storia culturale di un leitmotiv della Matematica Palermo Sigma Edizioni 1997 ISBN 978 88 7231 025 0 Stakhov A P The Mathematics of Harmony From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer Science Singapore World Scientific Publishing 2009 ISBN 978 981 277 582 5 Walser Hans The Golden Section Peter Hilton trans Washington DC The Mathematical Association of America 2001 Der Goldene Schnitt 1993 ISBN 0 88385 534 8 外部链接 编辑 维基共享资源上的相關多媒體資源 黄金分割率 取自 https zh wikipedia org w index php title 黄金分割率 amp oldid 74966371, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,

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