非对称关系

提示：此条目的主题不是反對稱關係。

在數學中，非對稱關係（英語：Asymmetric relation）是二元關係的一種。若集合 ${\displaystyle X}$ 上的二元關係 ${\displaystyle R}$ 為非對稱關係，則對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$，${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$。換句話說，如果 ${\displaystyle a}$ 至 ${\displaystyle b}$ 存在關係，則 ${\displaystyle b}$ 至 ${\displaystyle a}$ 不存在關係^[1]。

正式定義

一個定義於 ${\displaystyle X}$  上的二元關係 ${\displaystyle R}$  是 ${\displaystyle X\times X}$  的任何子集。給定 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，我們將 ${\displaystyle (a,b)\in R}$  簡寫為 ${\displaystyle aRb}$ ，讀作「${\displaystyle a}$  至 ${\displaystyle b}$  存在關係 ${\displaystyle R}$ （${\displaystyle a}$  is related to ${\displaystyle b}$  by ${\displaystyle R}$ ）」。

如果對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，若 ${\displaystyle aRb}$ ，則 ${\displaystyle b\not Ra}$ （也就是 ${\displaystyle (a,b)\in R\implies (b,a)\not \in R}$  ），則我們稱 ${\displaystyle R}$  是非對稱的。以一階邏輯的形式可以寫成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:aRb\implies \lnot (bRa)}$$

 

一個邏輯等價的定義如下：對於所有 ${\displaystyle a,b\in X}$ ，${\displaystyle aRb}$  與 ${\displaystyle bRa}$  中至少有一為假。以一階邏輯的形式可以寫成：

$${\displaystyle \forall a,b\in X:\lnot (aRb\wedge bRa)}$$

 

非對稱關係的一個例子是定義於實數上的「小於關係」，亦即 ${\displaystyle R=\{(a,b)\ |\ a<b\}}$ 。由於當 ${\displaystyle a}$  小於 ${\displaystyle b}$  時，${\displaystyle b}$  一定不小於 ${\displaystyle a}$ ，因此 ${\displaystyle R}$  是非對稱的。另一方面，「小於等於關係」則不是非對稱的，因為當 ${\displaystyle a=b}$  時，${\displaystyle a\leq b}$  和 ${\displaystyle b\leq a}$  會同時成立，不符合非對稱關係的定義。

非對稱關係不代表對稱關係的相反，上述的「小於等於關係」既不是非對稱關係，也不是對稱關係；而「空關係（${\displaystyle R=\emptyset }$ ）」是唯一同時是非對稱關係，也是對稱關係的關係。

非對稱關係（Asymmetric）與反對稱關係（Antisymmetric）的差異在於：反對稱關係容許自反性，${\displaystyle (a,a)}$  可以屬於 ${\displaystyle R}$ ，而非對稱關係不允許。如上述的「小於等於關係」即是反對稱關係的一例。

特性

• 一個關係為非對稱的，若且唯若該關係為反對稱且非自反的^[2]。
• 對於一個非對稱關係 ${\displaystyle R}$ ，對其施加限制或求其逆關係後，該關係同樣是非對稱的。例如，由「${\displaystyle <}$ 」定義的關係是非對稱關係（若 ${\displaystyle a<b}$  則 ${\displaystyle b\not <a}$ ），若將集合從實數限縮至整數，該關係同樣是非對稱的；求該關係的逆關係「${\displaystyle >}$ 」，該逆關係同樣是非對稱的。
• 一個遞移關係為非對稱的，若且唯若該關係為非自反的^[3]：若存在 ${\displaystyle aRb}$  且 ${\displaystyle bRa}$  使得該關係不是非對稱，則由遞移性可得到 ${\displaystyle aRa}$ ，使得該關係同樣不是非自反關係。
• 一個關係為遞移性的且非對稱的，若且唯若該關係為嚴格偏序的。
• 一個非對稱關係不一定是全關係。例如，由「嚴格子集」定義的關係是非對稱關係（若 ${\displaystyle A\subset B}$  則 ${\displaystyle B\not \subset A}$ ），但不是全關係（${\displaystyle \{1,2\}\not \subset \{3,4\}}$  又 ${\displaystyle \{3,4\}\not \subset \{1,2\}}$ ）。

参见

• 反对称关系
• 对称关系

參考資料

1. Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993 .
2. Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002 .
3. Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. （原始内容 (PDF)存档于2013-11-02）.  Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".