電荷泵鎖相迴路

電荷泵鎖相迴路（Charge-pump phase-locked loop）簡稱CP-PLL，是一種鉴相器適用於方波輸入信號的鎖相迴路^[1]。CP-PLL可以快速的鎖定到輸入信號的相位，可以達到很低的穩態相位誤差^[2]。

電荷泵鎖相迴路

鉴相器（PFD）

 

鉴相器動態

鉴相器（PFD）是由參考信號（Ref）以及受控輸出（VCO）信號的下緣所觸發。PFD ${\displaystyle i(t)}$ 的輸出信號只有三個狀態：0, ${\displaystyle +I_{p}}$ ,和${\displaystyle -I_{p}}$ 。 參考信號的下緣會使PFD切換到較高的狀態，若PFD已經在${\displaystyle +I_{p}}$ 就不會變動。 VCO信號的下緣會使PFD切換到較低的狀態，若PFD已經在${\displaystyle -I_{p}}$ 就不會變動。 若二個信號的下緣同時出現，PFD會切換到0。

CP-PLL的數學模型

第一個二階CP-PLL的數學模型是由佛洛依德·加德納（英语：Floyd M. Gardner）在1980年提出的^[2]。M. van Paemel在1994年提出了不考慮VCO過載（overload）的非線性模型^[3]，N. Kuznetsov等人在2019年優化該模型^[4]。也有學者在推導考慮VCO過載的CP-PLL解析解數學模型^[5]。

CP-PLL的數學模型可以針對一些參數進行解析的預估，例如hold-in範圍（在VCO沒有過載的情形下，可能進行鎖相的輸入信號頻率範圍），及捕獲範圍（pull-in range，在CP-PLL任意初始狀態下，CP-PLL最終可以鎖相的輸入信號頻率範圍）^[6]。

二階CP-PLL的連續時間線性模型以及加德納的猜想

加德納的分析是以以下的近似為基礎^[2]：每個參考信號的周期內，PFD非零的時間區間為

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$ 

CP-PLL的PDF平均輸出為

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$ 

對應的傳遞函數為

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$ 

若用濾波器傳遞函數${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$ 以及VCO傳遞函數${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$ ，可以得到加德納的二階CP-PLL線性近似平均模型:

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$ 

佛洛依德·加德納（英语：Floyd M. Gardner）在1980年以上述的理解，提出了猜想：「實際電荷泵鎖相迴路的暫態響應，預期會和等效傳統PLL的暫態響應幾乎相同。」^[2]:1856（加德納對CP-PLL的猜想）。 依照加德納的結果，也類似Egan在type 2 APLL捕獲範圍的猜想，Amr M. Fahim在其書中猜想^[7]:6：為了要達到無限大的捕獲範圍，CP-PLL的迴路濾波器需要使用主動濾波器（Fahim-Egan在type II CP-PLL捕獲範圍的猜想）。

二階CP-PLL的連續時間非線性模型

為了簡化推導，但不失去通用性，假設VCO和參考信號在其相位為整數時為其下降緣。 令參考信號第一個下降緣的時間為${\displaystyle t=0}$ 。 PFD狀態${\displaystyle i(0)}$ 會依PFD的初始狀態${\displaystyle i(0-)}$ ，VCO的初始相位移${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ ，以及參考信號${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$ 的值而不同。

若利用電阻和電容製作純PI（比例積分）的濾波器，其輸入電流${\displaystyle i(t)}$ 和輸出電壓${\displaystyle v_{F}(t)}$ 的關係為

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle R>0}$ 是電阻，${\displaystyle C>0}$ 是電感。 ${\displaystyle v_{c}(t)}$ 是電容器的電壓。 控制信號${\displaystyle v_{F}(t)}$ 會調整VCO頻率：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$ 

其中${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$ 是VCO的自由運行頻率 （也就是${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$ )，${\displaystyle K_{vco}}$ 是VCO增益（靈敏度）、${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$ 是VCO相位。 最後，CP-PLL連續時間非線性數學模型如下

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$ 

其中有以下的不連續分段常數非線性

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$ 

初始條件為${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$ . 此模型是非線性、非自主式、不連續的開關系統。

二階CP-PLL的離散時間非線性模型

 

在時間區間內的PFD動態

假設參考信號頻率為常數: ${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$  其中${\displaystyle T_{ref}}$ 、${\displaystyle \omega _{ref}}$ 和${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ 是參考資料的週期、頻率和相位。

令${\displaystyle t_{0}=0}$ ， 這表示${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$ 是第一個PFD輸出為0的時間 （若${\displaystyle i(0)=0}$ ，則${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$ ） 且${\displaystyle t_{1}}$ 是VCO或參考信號的第一個下降緣。 其且，可以定義對應的遞減數列${\displaystyle \{t_{k}\}}$ 、${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$ ，其中${\displaystyle k=0,1,2...}$ 。

令${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$ . 則在${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ 時，${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$ 是非零的常數（${\displaystyle \pm 1}$ ）。 令${\displaystyle \tau _{k}}$ 為PFD脈波寬度（PFD輸出為非零長度的時間區間）乘以PFD輸出的正負號：

${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$  for ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ 

${\displaystyle \tau _{k}=0}$  for ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$ 

若VCO的下降緣在參考信號的下降緣之前，則${\displaystyle \tau _{k}<0}$ ，反之，可得${\displaystyle \tau _{k}>0}$ 。${\displaystyle \tau _{k}}$ 可以看出二個信號下降緣的先後順序。在${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ 區間內，PFD輸出為零，PFD ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$ ：

${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$  for ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ .

將${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$ 變成下式的變數變換^[8]${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$  可以讓參數減至二個： ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ 

此處${\displaystyle p_{k}}$ 是正規化的相位偏移，${\displaystyle u_{k}+1}$ 是VCO頻率 ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$ 相對於參考頻率${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$ 的比例。

最後，不考慮VCO過載的二階CP-PLL離散時間模型如下^[4][6]

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$ 

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$ 

此離散時間模型只在${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$ 有一個穩態，可以估計hold-in範圍和捕獲範圍^[6]。

若VCO過載，也就是${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$ 為零， 或者是以下的式子 ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$ 或 ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$ , 則需要考慮額外的CP-PLL動態特性^[5]。 針對任何參數，只要VCO和參考信號的頻率差夠大，就會使VCO過載。 在實務上，需避免VCO的過載。

高階CP-PLL的非線性模型

高階CP-PLL非線性模型推導和超越方程有關，無法求得解析解，需要用近似的方式計算^[9]

參考資料

1. USA US3714463A,Jon M. Laune,「Digital frequency and/or phase detector charge pump」,发表于1973-01-30 
2. F. Gardner. Charge-pump phase-lock loops. IEEE Transactions on Communications. 1980, 28 (11): 1849–1858. Bibcode:1980ITCom..28.1849G. doi:10.1109/TCOM.1980.1094619. 
3. M. van Paemel. Analysis of a charge-pump pll: A new model. IEEE Transactions on Communications. 1994, 42 (7): 2490–2498. doi:10.1109/26.297861. 
4. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, and T. Mokaev. (PDF). Differential Equations and Control Processes. 2019, 1: 109–120 [2021-06-16]. （原始内容 (PDF)存档于2022-01-20）. 
5. N. Kuznetsov, M. Yuldashev, R. Yuldashev, M. Blagov, E. Kudryashova, O. Kuznetsova, T. Mokaev. Charge pump phase-locked loop with phase-frequency detector: closed form mathematical model 1901 (1468). 2020. arXiv:1901.01468  . 
6. N.V. Kuznetsov, A.S. Matveev, M.V. Yuldashev, R.V. Yuldashev. Nonlinear analysis of charge-pump phase-locked loop: the hold-in and pull-in ranges. IFAC World Congress. 2020. arXiv:2005.00864  . 
7. Fahim, Amr M. Clock Generators for SOC Processors: Circuits and Architecture. Boston-Dordrecht-London: Kluwer Academic Publishers. 2005. 
8. P. Curran, C. Bi, and O. Feely. Dynamics of charge-pump phase-locked loops. International Journal of Circuit Theory and Applications. 2013, 41 (11): 1109–1135. doi:10.1002/cta.1814. 
9. C. Hedayat, A. Hachem, Y. Leduc, and G. Benbassat. Modeling and characterization of the 3rd order charge-pump PLL: a fully event-driven approach. Analog Integrated Circuits and Signal Processing. 1999, 19 (1): 25–45. S2CID 58204942. doi:10.1023/A:1008326315191.