雷米茲演算法

雷米茲演算法，或稱雷米茲交換演算法，由葉夫根尼·列維奇·雷米茲於1934年所發表。 雷米茲演算法為一尋找函式簡易近似之迭代演算法，特別是定義於切比雪夫空間的函式效果最佳。

一個在切比雪夫空間的典型例子是 n 次項切比雪夫多项式的子空間，屬於實數連續函式之向量空間，定義於 C[a, b] 區間。

給定一子空間，其最佳近似多項式的定義為：可將此近似多項式與原始函式之最大絕對差異最小化者。 在這個情況下，可由equioscillation theorem使其解更精確

程序

算法的主要目的是从一个集合${\displaystyle X}$ 得到一个可以逼近函数${\displaystyle f}$ 的多项式。集合${\displaystyle X}$ 由近似的区间上的${\displaystyle n+2}$ 个取样点${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n+2}}$ 组成，通常由Chebyshev多项式线性映射至该区间得到。算法步骤如下：

1. 解线性方程组

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}$  (其中 ${\displaystyle i=1,2,...n+2}$ ),

未知数为 ${\displaystyle b_{0},b_{1},...,b_{n}}$  和 ${\displaystyle E}$ 。

1. 使用 ${\displaystyle b_{i}}$  作為多項式 ${\displaystyle P_{n}}$  的係數。
2. 找出${\displaystyle |P_{n}(x)-f(x)|}$ 的局部极大误差点，组成集合${\displaystyle M}$ 。
3. 若所有 ${\displaystyle m\in M}$  都是相同大小，仅正负号不同的话，则 ${\displaystyle P_{n}}$  为极小化极大逼近多项式。否则的话，使用${\displaystyle M}$ 取代${\displaystyle X}$ 并重复上述步骤。

此结果称为极小化极大逼近算法的最佳逼近多项式。

初始化選擇

由於切比雪夫節點在多項式插值理論中所扮演的角色，故通常選擇其為初始近似的方法。由拉格朗日插值法 L_n(f) 初始化一函式 f 之最佳化問題，可以證明此初始近似之邊界限制為:

${\displaystyle \lVert f-L_{n}(f)\rVert _{\infty }\leq (1+\lVert L_{n}\rVert _{\infty })\inf _{p\in P_{n}}\lVert f-p\rVert }$ 

其中節點 (t₁, ..., t_n + 1) 之拉格朗日插值法算子的常數為

${\displaystyle \lVert L_{n}\rVert _{\infty }={\overline {\Lambda }}_{n}(T)=\max _{-1\leq x\leq 1}\lambda _{n}(T;x),}$ 

T 為切比雪夫多項式的零點，而

${\displaystyle \lambda _{n}(T;x)=\sum _{j=1}^{n+1}\left|l_{j}(x)\right|,\quad l_{j}(x)=\prod _{\stackrel {i=1}{i\neq j}}^{n+1}{\frac {(x-t_{i})}{(t_{j}-t_{i})}}.}$ 

對提供次最佳之切比雪夫節點來說，其漸近線為

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)={\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+{\frac {2}{\pi }}\left(\gamma +\log {\frac {8}{\pi }}\right)+\alpha _{n+1}}$ 

(γ 為 欧拉-马歇罗尼常数)，

${\displaystyle 0<\alpha _{n}<{\frac {\pi }{72n^{2}}}}$  for ${\displaystyle n\geq 1,}$ 

而上界為

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}(T)\leq {\frac {2}{\pi }}\log(n+1)+1}$ 

Lev Brutman 計算出對 ${\displaystyle n\geq 3}$  的邊界，而 ${\displaystyle {\hat {T}}}$  為切比雪夫多項式之零點

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<{\overline {\Lambda }}_{3}-{\frac {1}{6}}\cot {\frac {\pi }{8}}+{\frac {\pi }{64}}{\frac {1}{\sin ^{2}(3\pi /16)}}-{\frac {2}{\pi }}(\gamma -\log \pi )\approx 0.201.}$ 

Rüdiger Günttner由對 ${\displaystyle n\geq 40}$  之較粗略的估算計算出

${\displaystyle {\overline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})-{\underline {\Lambda }}_{n}({\hat {T}})<0.0196.}$ 

細節討論

在此將提供先前簡述步驟的詳細內容，在這個章節令指數 i 從 0 跑到 n+1.

步驟 1: 給定 ${\displaystyle x_{0},x_{1},...x_{n+1}}$ , 求 n+2 條等式之線性系統之解

${\displaystyle b_{0}+b_{1}x_{i}+...+b_{n}x_{i}^{n}+(-1)^{i}E=f(x_{i})}$  (其中 ${\displaystyle i=0,1,...n+1}$ ),

對於未知的 ${\displaystyle b_{0},b_{1},...b_{n}}$  和 E.

可以很清楚地觀察到，在這個式子裡 ${\displaystyle (-1)^{i}E}$  若要成立，只有在節點 ${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$  為 排序 的情況下才能達到，無論是嚴格遞增或遞減。這樣一來這個線性系統便有唯一解。(廣為人知的，並非每個線性系統都可以求解)。 此外，求解之複雜度最少為 ${\displaystyle O(n^{2})}$  ，而一個從函式庫求解的標準計算器需要 ${\displaystyle O(n^{3})}$  的複雜度，在此有一簡單證明:

計算前n+1個節點之 ${\displaystyle f(x)}$  標準 n 階插值 ${\displaystyle p_{1}(x)}$ ， 以及對於 ${\displaystyle (-1)^{i}}$  之標準 n 階插值 ${\displaystyle p_{2}(x)}$ 

${\displaystyle p_{1}(x_{i})=f(x_{i}),p_{2}(x_{i})=(-1)^{i},i=0,...,n.}$ 

至此，需要 ${\displaystyle O(n^{2})}$  次數值運算。

在 ${\displaystyle x_{i-1}}$  與 ${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$  之間，多項式 ${\displaystyle p_{2}(x)}$  有其 i-階 零點zero between ${\displaystyle x_{i-1}}$  and ${\displaystyle x_{i},\ i=1,...,n}$ ，因此在 ${\displaystyle x_{n}}$  與 ${\displaystyle x_{n+1}}$ 之間無任何零點，意即 ${\displaystyle p_{2}(x_{n})}$  與 ${\displaystyle p_{2}(x_{n+1})}$  正負號 ${\displaystyle (-1)^{n}}$  相同。

線性組合 ${\displaystyle p(x):=p_{1}(x)-p_{2}(x)\!\cdot \!E}$  亦為一 n 次多項式

${\displaystyle p(x_{i})=p_{1}(x_{i})-p_{2}(x_{i})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{i})-(-1)^{i}E,\ \ \ \ i=0,\ldots ,n.}$ 

選擇任何 E ，對 ${\displaystyle i=0,...,n}$  ，下列式子與上述等式相同:

${\displaystyle p(x_{n+1})\ =\ p_{1}(x_{n+1})-p_{2}(x_{n+1})\!\cdot \!E\ =\ f(x_{n+1})-(-1)^{n+1}E}$ 

解 E 得:

${\displaystyle E\ :=\ {\frac {p_{1}(x_{n+1})-f(x_{n+1})}{p_{2}(x_{n+1})+(-1)^{n}}}.}$ 

如前述所提及，上式分母之兩項有相同正負號，因此

${\displaystyle p(x)\equiv b_{0}+b_{1}x+\ldots +b_{n}x^{n}}$ 

是完整定義的。

給定 n+2 階節點，其誤差為正負輪流:

${\displaystyle p(x_{i})-f(x_{i})\ =\ -(-1)^{i}E,\ \ i=0,...,n\!+\!1.}$ 

de La Vallée Poussin 理論說明在這種形況下，沒有誤差少於 E 之 n 次多項式存在。

步驟 2 把多項式表示由${\displaystyle b_{0}+b_{1}x+...+b_{n}x^{n}}$  轉為 ${\displaystyle p(x)}$ .

步驟 3 依照以下所述改善輸入節點 ${\displaystyle x_{0},...,x_{n+1}}$  的誤差 ${\displaystyle \pm E}$ 。

在每個 P-領域，現在的節點 ${\displaystyle x_{i}}$  將被區域最大 ${\displaystyle {\bar {x}}_{i}}$  取代，同樣在每個 N-領域， ${\displaystyle x_{i}}$  將被區域最小取代， 在這部分並不要求高精確律。

令 ${\displaystyle z_{i}:=p({\bar {x}}_{i})-f({\bar {x}}_{i})}$ ， 其大小 ${\displaystyle |z_{i}|}$  皆大於或等於 E。de La Vallée Poussin 理論及其證明也可以應用至 ${\displaystyle z_{0},...,z_{n+1}}$ ， 而使此 n 次多項式有最小可能誤差的新下界為 ${\displaystyle \min\{|z_{i}|\}\geq E}$ 。

步驟 4: 分別以 ${\displaystyle \min \,\{|z_{i}|\}}$  與 ${\displaystyle \max \,\{|z_{i}|\}}$  為新的上下界，此迭代演算法的終止條件為: 重複上述步驟直到 ${\displaystyle \max\{|z_{i}|\}-\min\{|z_{i}|\}}$  足夠小且不再遞減。

變異

有時候在最大絕對差異點的附近，會有複數個點同時被取代。

有時候相對誤差會被用來衡量函式與其近似的差異，特別是在電腦上用浮點數做運算的函式。

外部連結

• Aarts, Ronald M.; Bond, Charles; Mendelsohn, Phil; and Weisstein, Eric W. Remez Algorithm. MathWorld.