0的0次方

0的0次方（英語：Zero to the power of zero），寫作${\displaystyle 0^{0}}$，是極限的不定式之一，在排列組合以及群論中，常用的慣例是定義為1^{[註 1]}，在微積分中則通常沒有定義，因為極限${\displaystyle \lim _{(x,y)\to (0,0)}x^{y}}$不存在。

定义的需求

微分式：${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(x^{n}\right)=nx^{n-1}}$ 在x=0，n=1的時候將無法作用，除非${\displaystyle 0^{0}=1}$ ，另外，如果不定義${\displaystyle 0^{0}}$ ，就無法處理二項式定理${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}$ ，因為${\displaystyle 0^{0}=(1-1)^{0}={\binom {0}{0}}1^{0}(-1)^{0}=1}$ 。

在多項式函數中把常數項視為零次項，可將多項式函數化簡為

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}c_{k}x^{k}}$ 

則${\displaystyle f(0)=c_{0}0^{0}}$ 

也必須用到${\displaystyle 0^{0}=1}$ 

 

函數z=x^y在(x,y)=(0,0)附近的圖形

注释

1. 因為a⁰是空乘積，不管數字a是多少，包括0，而空乘積的值為1（空和的值為0）