集合建構式符號

在數學裡，集合建構式符號（set-builder notation）是常用于描述集合的一種記號，這種描述集合的方式一般也稱為集合抽象化（set abstraction）或set comprehension。一般寫為${\displaystyle \{x:P(x)\}}$或${\displaystyle \{x\in S:P(x)\}}$，分別只在於論域的不同，前者的元素恰好是那些符合謂詞P的集合，而後者的元素除了符合謂詞P，還得是S的元素。

範例：三角形數的集合

 

海什木（Alhazen）的正整數和公式推導。

以三角形數的集合為例。三角形數有一個規則，它是正整數的和。

下面的每一個等式給出了三角形數集合T的一個元素：

${\displaystyle 1=1}$ 

${\displaystyle 1+2=3}$ 

${\displaystyle 1+2+3=6}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4=10}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4+5=15}$ 

${\displaystyle 1+2+3+4+5+6=21}$ 

${\displaystyle \qquad \qquad \quad \vdots }$ 

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n=S}$ 

其中，n是正整數，S是左式的結果。

於是我們歸納出一個規則（即公式）：

${\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$ 

這個規則可代表集合T中的元素。於是，集合T可以簡寫為：

${\displaystyle T=\left\{S~\left|~S={\frac {n(n+1)}{2}},n\in \mathbb {N} ^{+}\right.\right\}}$ 

在上面的簡單範例中，我們將一個繁複的集合表示法，透過一個簡單的規則，重新以簡單的符號來表示這個集合。

集合建構式與一階邏輯

當一個集合的元素是用某種公式或條件（亦即，一個函數）所產生，這時候就可以用集合建構式來表示，例如：

• 偶數集合 = ${\displaystyle \{x:x}$ 是2的倍數${\displaystyle \}}$ 
• 負數集合 = ${\displaystyle \{x:x}$ 是小於0的數${\displaystyle \}}$ 

就哲學上來說，這些元素具有某種共同的性質（2的倍數，或是小於0）；在一階邏輯中，這個性質可以使用謂詞來表示，而該集合的一般格式為：

${\displaystyle A=\{x:P(x)\}}$ 

以偶數集合為例，其謂詞${\displaystyle P=}$ 「是2的倍數」。${\displaystyle P(x)=}$ 「${\displaystyle x}$ 是2的倍數」，被稱為一個命題函數。

集合${\displaystyle A}$ 的元素必定是另一個集合${\displaystyle B}$ 的元素${\displaystyle x}$ ，使得${\displaystyle P(x)}$ 為真（亦即，${\displaystyle A}$ 是${\displaystyle B}$ 的一個子集），一般表述為：

${\displaystyle A=\{x:x\in B,P(x)\}}$ 或是${\displaystyle A=\{x\in B:P(x)\}}$ 

在這裡，${\displaystyle P}$ 是謂詞，${\displaystyle x}$ 是主詞（${\displaystyle B}$ 集合中的一個元素），${\displaystyle P(x)}$ 是一個傳回真假值的命題函數：

${\displaystyle P\colon B\rightarrow \{true,false\}}$ 

所以，在數學中，謂詞被視為一種布林值函數。

在實例中，如果沒有指定${\displaystyle B}$ 集合，就表示${\displaystyle B}$ 集合是由謂詞${\displaystyle P}$ 所給出。

集合建構式例句

• 正整數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$ 是大於0的整數${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x>0\land x\in \mathbb {Z} \}}$ 
• 偶數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x:x}$ 是2的倍數${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x=2k,k\in \mathbb {Z} \}}$ 
• 負數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x~|~x}$ 是小於0的數${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x~|~\forall x\in \mathbb {R} ,x<0\}}$ 
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ~|~x<0\}}$ 
• 平方數集合可用下列建構式表示：
  • ${\displaystyle \{x~|~x}$ 是某個整數的平方${\displaystyle \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x:x=k^{2};k\in \mathbb {Z} \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x^{2}:x\in \mathbb {Z} \}}$ 
  • ${\displaystyle \{x\in \mathbb {N} :\exists k\in \mathbb {Z} }$  s.t. ${\displaystyle k^{2}=x\}}$ 

在這裡，有幾個習慣用法：

• 冒號和豎線是一樣的，意思是「使得（such that，簡寫為s.t.）」。一般來說，冒號與豎線只使用在最前面，接下來的「使得」都使用別的符號，例如s.t.或是${\displaystyle \ni }$ 。但是偶爾也會看到這樣的句子，奇數：

${\displaystyle \{n\in \mathbb {Z} :\exists k\in \mathbb {Z} :n=2k+1\}}$ 

另一個更簡潔的句子可以表達相同的意思：

${\displaystyle \{2n+1:n\in \mathbb {Z} \}}$ 

• 一般來說，${\displaystyle \forall }$ 是省略不寫的，但是偶爾會看到使用${\displaystyle \forall }$ 的句子。一個複雜的例句如下，非平方數：

${\displaystyle \{x\in \mathbb {N} :\forall k\in \mathbb {Z} ,k^{2}\neq x\}}$ 

• 逗號（,）、分號（;）與合取（${\displaystyle \land }$ ）的意思是一樣的，都是合取（${\displaystyle \land }$ ）。
• 當元素的數域已經由命題所給出，通常就省略不寫。

参见

• 抽象化 (數學)
• 一階邏輯

外部链接

• StackExchange: Set-builder notation: is there another symbol for“such that”? （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• StackExchange: When are these set-builder notations the same and different? （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Some Fregean Considerations on Predicates and Their Reference （页面存档备份，存于互联网档案馆）