雅可比坐標

在多体系统的研究中，常用雅可比坐標来简化数学计算。这一坐标系统可以用于多个领域，尤其是天体物理^[3]，以及多原子分子和化学反应^[4] 。一个用于N体问题建立雅可比坐标的算法是利用二叉树^[5]。这一算法可以这样描述：

二體問題的雅可比坐標系為質心坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}}$ 和相對坐標 ${\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}}$ ；其中，${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}\ }$ ^[1]。

四体问题一个可能的雅可比坐標系。r₁, r₂, r₃为雅可比坐标，R为质心。^[2]

质量分别为m_j和m_k的两个物体用一个质量为M = m_j + m_k的虚拟物体代替。同时，用相对坐标向量r_jk = x_j − x_k和质心坐标向量R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k)来替代两个物体原来的坐标向量x_j和x_k。二叉树中的一个节点即为这一虚拟物体。它有两个子节点，左子节点为m_k，右子节点为m_j。对N-1个物体重复以上步骤。

四体问题的结果是^[2]：

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{1}=x_{1}-x_{2}}}\ ,}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\ ,}$

其中：

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

向量R是所有物体的质心：

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}={\frac {1}{m_{0}}}\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ ;}$   ${\displaystyle m_{0}=\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}\ .}$

参考资料

1. David Betounes. Differential Equations. Springer. 2001: 58; Figure 2.15. 
2. Patrick Cornille. Partition of forces using Jacobi coordinates. . World Scientific. 2003: 102 [2012-11-18]. ISBN 981-238-367-0. （原始内容存档于2020-08-11）. 
3. 示例见Edward Belbruno. Capture Dynamics and Chaotic Motions in Celestial Mechanics. Princeton University Press. 2004: 9. ISBN 0-691-09480-2. 
4. John Z. H. Zhang. Theory and application of quantum molecular dynamics. World Scientific. 1999: 104. ISBN 981-02-3388-4. 
5. Hildeberto Cabral, Florin Diacu. Appendix A: Canonical transformations to Jacobi coordinates. Classical and celestial mechanics. Princeton University Press. 2002: 230. ISBN 0-691-05022-8.