升链条件

在数学中，升链条件（Ascending Chain Condition）和降链条件（Descending Chain Condition）是一些代数结构具有的性质，例如交换环中的理想。

定义

偏序集${\displaystyle P}$ 满足升链条件，如果在${\displaystyle P}$ 中不存在严格升序列

${\displaystyle a_{1}<a_{2}<a_{3}<\cdots }$ 

其中的${\displaystyle a_{i}}$ 都是${\displaystyle P}$ 中的元素。等价地，${\displaystyle P}$ 中任意不严格升序列

${\displaystyle a_{1}\leq a_{2}\leq a_{3}\leq \cdots }$ 

最终都是稳定的，即存在一个正整数${\displaystyle n}$ 使得

${\displaystyle a_{n}=a_{n+1}=a_{n+2}=\cdots .}$ 

类似地，${\displaystyle P}$ 满足降链条件如果在${\displaystyle P}$ 中不存在严格降序列或者每个不严格降序列最终都是稳定的。

性质

• 利用选择公理，偏序集${\displaystyle P}$ 满足降链条件等价于${\displaystyle P}$ 满足良基关系：${\displaystyle P}$ 的每个非空子集都有一个极小元。满足良基关系的偏序集称为良序集。
• 类似地，偏序集${\displaystyle P}$ 满足升链条件等价于${\displaystyle P}$ 的每个非空子集都有一个极大元。

例子

正整数环${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 中的理想满足升链条件，其中理想是通过包含关系进行排序，于是${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 是一个诺特环。