阿達馬伽瑪函數

在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿达马命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：

阿達馬伽瑪函數

一般Γ函數與阿达马Γ函數

Γ函數（藍色）、阿达马Γ函數（橘色），其值在正整數時相同

${\displaystyle H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\}}$

其中，Γ(x)是一般的伽瑪函數。若n為正整數，則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等：

${\displaystyle H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!\,}$

性質

阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同，阿達馬伽瑪函數沒有奇點，是一個完全連續的函數，並且滿足下面等式：

${\displaystyle H(x+1)=x\,H(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}}$ 

其中${\displaystyle {\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}\to 0}$ 在${\displaystyle x}$ 趨近正整數時趨近為0。

阿達馬伽瑪函數	一般伽瑪函數
的複變函數圖形

${\displaystyle \Gamma (x)-H(x)}$	${\displaystyle \ln(\Gamma (x)-H(x))}$	${\displaystyle \left|\Gamma (x)-H(x)\right|}$	${\displaystyle {\frac {H(x)}{\Gamma (x)}}}$
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係 由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。 絕對值越小顏色越深，紅色是正實數、水藍色是負實數 可以看到在正整數的上兩函數相等。

其他表示法

阿達馬伽瑪函數可以用双伽玛函数表示：

${\displaystyle H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\,\Gamma (1-x)}}}$ 

${\displaystyle H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],}$ 

其中，ψ(x)表示双伽玛函数。

參考文獻

1. Hadamard, M. J., Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894 [2018-11-25], （原始内容 (PDF)于2021-02-25） （法语） 
2. Srivastava, H. M.; Junesang, Choi. Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. 2012: 124. ISBN 0123852188. 
3. Introduction to the Gamma Function. The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. [27 February 2016]. （原始内容于2021-05-07）.