阿特伍德機

阿特伍德機（Atwood machine，又譯作阿特午德機或阿特午機），是由英國牧師、數學家兼物理學家的乔治·阿特伍德在1784年发表的《关于物体的直线运动和转动》一文中提出的^[1]，用於測量加速度及驗證運動定律的機械。此機械現在經常出現於學校教學中，用來解釋经典物理學的原理，验证力學中做恒定加速度运动的运动规律。

阿特伍德机，1905年。

一個理想的阿特伍德機包含兩個物體質量m₁和m₂，及由無重量、無彈性的繩子連結並包覆理想且無重量的滑輪。 ^[2]

當${\displaystyle m_{1}=m_{2}}$，无论兩物體在何位置、機器處於力平衡的狀態。當${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$时，兩物體皆以大小相等的加速度做运动。

恆定加速度的方程式

 

Atwood machine

我們可以藉由分解力的方法得到一個加速度的方程式。如果繩子無重量、無彈性，滑輪理想（無視半徑）且無重量，那麼我們只需要考慮張力（T），還有兩個物體的重量（mg）。先找出個別影響兩物體的力,當${\displaystyle m_{2}>m_{1}}$ 时,

m₁的力: ${\displaystyle \;T-m_{1}g}$ 

m₂的力: ${\displaystyle \;m_{2}g-T}$ 

利用牛頓第二運動定律, ${\displaystyle \;T-m_{1}g=m_{1}a}$ , ${\displaystyle \;m_{2}g-T=m_{2}a}$  。 将这两个方程式相加, 我們可以得到整個系統的恒定的加速度的方程式。定义合力${\displaystyle \sum F}$ , 我们有 ${\displaystyle \sum F=(m_{2}g-T)+(T-m_{1}g)=g(m_{2}-m_{1})}$  。

${\displaystyle \sum F=ma}$ 

${\displaystyle a={\sum F \over m}}$ 

${\displaystyle \sum F=g(m_{2}-m_{1})}$ 

${\displaystyle \;m=(m_{1}+m_{2})}$ 

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$ 

阿特伍德機有時候也被用來說明拉格朗日力學中獲得的運動方程式。 ^[3]

计算張力的方程式

上述的方程式也可用來計算繩子上的張力，只需要將得到的等加速度方程式代入兩物體的力方程式之一中。

${\displaystyle a=g{m_{2}-m_{1} \over m_{1}+m_{2}}}$ 

例如代入${\displaystyle m_{1}a=T-m_{1}g}$ ，我們得到

${\displaystyle T=g{2m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}$ 

藉由同樣的方法，張力也可以從${\displaystyle m_{2}a=m_{2}g-T}$ 中求得。

有轉動慣量滑輪和摩擦存在的情况

若m₁與m₂之間的重量差别很小時，半徑为（r）的滑輪的轉動慣量（I）不可以被忽略。当不打滑时，滑輪的角加速度可以從以下算式求得：

${\displaystyle \alpha ={a \over r}}$ 

在此情況下，作用于滑輪上的總力矩為：

${\displaystyle \tau _{Total}=\left(T_{2}-T_{1}\right)r-\tau _{friction}=I\alpha }$ 

把该方程式与两个垂吊物体的方程式 ${\displaystyle \;T_{1}-m_{1}g=m_{1}a}$ , ${\displaystyle \;m_{2}g-T_{2}=m_{2}a}$  联合求解 ${\displaystyle \;T_{1}}$ , ${\displaystyle \;T_{2}}$  和 ${\displaystyle \;a}$ ，我们得到：

${\displaystyle a={g(m_{2}-m_{1})-{\tau _{friction} \over {r}} \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle T_{1}={m_{1}g(2m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$ 

${\displaystyle T_{2}={m_{2}g(2m_{1}+{{I} \over {r^{2}}}+{\tau _{friction} \over {rg}}) \over {m_{1}+m_{2}+{{I} \over {r^{2}}}}}}$ 

參考

维基共享资源中相关的多媒体资源：阿特伍德機

1. 漆安慎、杜婵英. 《力学》（第二版）. 高等教育出版社. 2005: 76页. ISBN 978-7-04-016624-8. 
2. Tipler, Paul A. Physics For Scientists and Engineers, Third Edition, Extended Version. New York: Worth Publishers. 1991. ISBN 0-87901-432-6.  Chapter 6, example 6-13, page 160.
3. Goldstein, Herbert. Classical Mechanics, second Edition. New Delhi: Addison-Wesley/Narosa Indian Student Edition. 1980. ISBN 81-85015-53-8.  Section 1-6, example 2, pages 26-27.

• "Atwood's Machine （页面存档备份，存于互联网档案馆）" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
• "Spreading Newtonian Philosophy with Instruments: The Case of Atwood's Machine". Http://dx.doi.org/10.4236/ahs.2014.31007