阿依熱爾曼猜想

阿依熱爾曼猜想（Aizerman's conjecture）或阿依熱爾曼問題猜想（Aizerman problem）是非線性控制的猜想，認為一線性系統有非線性的回授，不過是在一個扇形的線性區間內，若線性系統在此扇形線性區間都穩定，則整個系統都會穩定。

阿依熱爾曼猜想在一維系統成立，在二維系統是全域穩定的充份必要條件，而針對維度大於3的情形，這個猜想已找到反證^[1]^[2]，不過後來因此推導出（有效的）非線性控制全域穩定性準則。

阿依熱爾曼猜想的數學描述

考慮一個系統，其中包括一個純量非線性的函數

{\frac {dx}{dt}}=Px+qf(e),\quad e=r^{*}x\quad x\in \mathbb {R} ^{n},

其中P是常數n×n矩陣、q和r是常數n維向量、∗ 是轉置算子、f(e)是純量函數，且 f(0)=0。假設非線性函數f是有扇型區間的上下限，也就是存在實數

k_{1}

及

k_{2}

，滿足

k_{1}<k_{2}

，且函數

f

滿足

k_{1}<{\frac {f(e)}{e}}<k_{2},\quad \forall \;e\neq 0.

阿依熱爾曼猜想就是指此系統在全域穩定（有唯一穩定點，而且是全域吸引子）若所有在f(e)=ke, k ∈(k1,k2)下的線性系統都是漸近穩定。

存在阿依熱爾曼猜想的反例，非線性函數在線性穩定的範圍內，且系統除了唯一的穩定平衡點外，還有穩定的週期解—隱蔽振盪。^[2]^[3]^[4]^[5]

卡爾曼猜想是強化版本的阿依熱爾曼猜想，在非線性回授的部份要求回授的微分需在線性穩定區間內，結果也存在反例。

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