连通图

连通图（英語：Connected graph）是图论中最基本概念之一，其定义基于连通的概念。在一个无向图G中，若从顶点${\displaystyle v_{i}}$到顶点${\displaystyle v_{j}}$有路径相连（从${\displaystyle v_{j}}$到${\displaystyle v_{i}}$也一定有路径），则称${\displaystyle v_{i}}$和${\displaystyle v_{j}}$是连通的。如果G是有向图，那么连接${\displaystyle v_{i}}$和${\displaystyle v_{j}}$的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。图的连通性是图的基本性质。连通度是指为了让图分解成孤立的子图所要删除的顶点数的最小值。连通度是刻画网络的一个重要指标。

严格定义

对一个图G= (V,E)中的两点${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ ，若存在交替的顶点和边的序列${\displaystyle \Gamma =(x=v_{0}-e_{1}-v_{1}-e_{2}-\cdots -e_{k}-v_{k}=y)}$ （在有向图中要求有向边${\displaystyle v_{i}-v_{i+1}}$ 属于E），则两点${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 是连通的。${\displaystyle \Gamma }$ 是一条${\displaystyle x}$ 到${\displaystyle y}$ 的连通路径，${\displaystyle x}$ 和${\displaystyle y}$ 分别是起点和终点。当${\displaystyle x=y}$ 时，${\displaystyle \Gamma }$ 被称为回路。如果通路${\displaystyle \Gamma }$ 中的边两两不同，则${\displaystyle \Gamma }$ 是一条简单通路，否则为一条复杂通路。如果图G中每两点间皆连通，则G是连通图。

一个有向图被称作弱连通(weakly connected)的，如果将所有有向边替换为无向边之后的无向图是连通的，如果对于任意一对顶点${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ ，或者存在一条从${\displaystyle u}$ 到${\displaystyle v}$ 的有向路径，或者存在一条从${\displaystyle v}$ 到${\displaystyle u}$ 的有向路径，则该图是单连通(unilaterally conncected)的^[1]，如果对于如果对于任意一对顶点${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ ，同时存在一条从${\displaystyle u}$ 到${\displaystyle v}$ 的有向路径和一条从${\displaystyle v}$ 到${\displaystyle u}$ 的有向路径，则该图是强连通(strongly connected)的。

分量和割

无向图G的一个极大连通子图称为G的一个连通分量（或连通分支）。每一个顶点和每一条边都属于唯一的一个连通分量，连通图只有一个连通分量，即其自身；非连通的无向图有多个连通分量。

有向图中的强连通分量是其极大的强连通子图。强连通图只有一个强连通分量，即是其自身；非强连通的有向图有多个强连通分量。

连通图${\displaystyle G}$ 的割点是指一个由顶点组成的集合，在${\displaystyle G}$ 删除了这些点之后，会变得不连通。点连通度${\displaystyle \kappa (G)}$ 是割点集阶数的最小值。如果图${\displaystyle G}$ 不是完全图，且${\displaystyle \kappa (G)=k}$ ,则图${\displaystyle G}$ 是${\displaystyle k}$ -点连通的。更确切地来说，如果图${\displaystyle G}$ （不论是否完全）可以在删除了${\displaystyle k+1}$ 个点之后变得不连通，却不能在删除${\displaystyle k-1}$ 个点之后变得不连通，则图${\displaystyle G}$ 是${\displaystyle k}$ -点连通的，特别地，阶数为${\displaystyle n}$ 的完全图是${\displaystyle n-1}$ -点连通的。

一对端点${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$ 的割点是是指一个由顶点组成的集合，在${\displaystyle G}$ 删除了这些点之后，${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$ 会变得不连通。局部连通度${\displaystyle \kappa (u,v)}$ 是${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$ 的最小割点集的阶数。在无向图上，局部连通度是对称的，也就是说，${\displaystyle \kappa (u,v)=\kappa (v,u)}$ ，另外，除了完全图之外，${\displaystyle \kappa (G)}$ 为所有不相邻的点对${\displaystyle u}$ ,${\displaystyle v}$ 的局部联通度中的最小值。

类似的概念可以用来定义边连通度。如果在${\displaystyle G}$ 上删除一条边可以导致不连通性，则这条边被称作桥。更一般地，割边是指一个由边组成的集合，在 在${\displaystyle G}$ 删除了这些边之后，会变得不连通。边连通度在${\displaystyle \lambda (G)}$ 是最小的割边集的大小，局部边连通度${\displaystyle \lambda (u,v)}$ 是

如果图${\displaystyle G}$ 的边连通度大于等于${\displaystyle k}$ ，则它被称作${\displaystyle k}$ -边连通的。

在一个图上，以下的不等式成立:${\displaystyle \kappa (G)\leqslant \lambda (G)\leqslant \delta (G)}$ ，其中${\displaystyle \delta (G)}$ 是${\displaystyle G}$ 的最小度(minimum degree)^[2]。 如果图${\displaystyle G}$ 的点连通度等于其最小度,则被称作极大连通的，如果它的边连通度等于其最小度，则它被称作极大边连通的^[3]。

Super- and hyper-连通

如果图${\displaystyle G}$ 上，每一个最小的割点集都能孤立一个顶点，则图${\displaystyle G}$ 被称作super-connected或者 super-κ。如果${\displaystyle G}$ 删除了每一个最小的割点集之后图都会分成两个连通分量，并且其中一个是单点，那么图${\displaystyle G}$ 被称作hyper-connected或hyper-κ。 如果图上删除了每一个最小的割点集之后都分成了两个连通分量，则图${\displaystyle G}$ 被称作semi-hyper-connected或semi-hyper-κ。^[4]

一个割点集${\displaystyle X}$ 被称作non-trivial的，如果对于任意不属于${\displaystyle X}$ 的顶点${\displaystyle v}$ ，其邻域${\displaystyle N(u)}$ 都不包含在${\displaystyle X}$ 中。${\displaystyle G}$ 的superconnectivity可以被表示成： ${\displaystyle \kappa (G)=}$ = min{|X| : X is a non-trivial cutset}.

一个non-trivial 割边和edge-superconnectivity λ1(G)可以被类似地定义。^[5]

门格尔定理

图论中关于连通性最重要的定理之一门格尔定理，它用定点之间独立路径的个数刻画了图点连通和边连通度。令 ${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ 为图${\displaystyle G}$ 的两个顶点，一系列连接${\displaystyle u}$ 和${\displaystyle v}$ 的路径被称作点独立的，如果它们之间除了${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ 之外，不会有相同的顶点。类似地，它们被称作边独立的，如果它们不会有相同的边。${\displaystyle u}$  和${\displaystyle u}$ 点独立的路径的个数被记作${\displaystyle \kappa '(u,v)}$ ，边独立的路径的个数被记作${\displaystyle \lambda '(u,v)}$ 。 门格尔定理告诉我们，若${\displaystyle u}$  ，${\displaystyle v}$ 不相同，则${\displaystyle \lambda '(u,v)=\lambda (u,v)}$ ，若${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ 不相同且不相邻，则 ${\displaystyle \kappa '(u,v)=\kappa (u,v)}$ ^[6][7] 。 事实上，这其实是最大流最小割定理的特殊情况。

连通度的计算方面

判断两个顶点是否连通这一问题可以被搜索算法迅速的解决，例如广度优先算法。更一般地，判断一个图是否连通，以及一个图连通分量的计数问题可以被较快地解决（例如使用并查集，一个简单算法的伪代码可以写成：

1. 从${\displaystyle G}$ 的任意一个顶点开始
2. 使用深度优先或广度优先搜索所有与该顶点连通的顶点，并计数
3. 搜索完成，如果计数等于${\displaystyle G}$ 的阶数，则${\displaystyle G}$ 是连通的，否则${\displaystyle G}$ 不连通。

根据门格尔定理，在连通图${\displaystyle G}$ 上，对于任意一对顶点${\displaystyle u}$ ，${\displaystyle v}$ ，${\displaystyle \kappa (u,v)}$ ，${\displaystyle \lambda (u,v)}$ 可以通过最大流最小割算法迅速的计算，因此，${\displaystyle G}$ 的边连通度和点联通度分别作为${\displaystyle \kappa (u,v)}$ ，${\displaystyle \lambda (u,v)}$ 的最小值，可以被迅速地计算。

连通图的个数

${\displaystyle n}$ 阶（小于等于16）的不同的连通图的个数在 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences中被记录在 A001187中，前几个份量是

n	个数
2	1
3	4
4	38
5	728
6	26704
7	1866256
8	251548592

一些例子

• 不连通图的边连通度和点连通度均为${\displaystyle 0}$ 
• 1-点连通等价于阶数大于等于${\displaystyle 2}$ 的图的连通性。
• ${\displaystyle n}$ 阶完全图的边连通度是${\displaystyle n-1}$ ,其他类型的${\displaystyle n}$ 阶图的边连通度严格小于${\displaystyle n-1}$ 
• 在树中，任意两个顶点之间的局部边连通度都是${\displaystyle 1}$ 

其他性质

• 连通性被图同态保持
• 如果${\displaystyle G}$ 是连通的，则它的线图${\displaystyle L(G)}$ 也是连通的
• 图${\displaystyle G}$ 是2-边连通的，当且仅当它有一个定向，且是强连通的。
• 根据G. A. Dirac的结论，如果图${\displaystyle G}$ 是${\displaystyle k}$ -点连通的，且${\displaystyle k\geqslant 2}$ ，则对于每k个顶点组成的集合，存在一个环经过这个集合上所有的顶点。^[8][9] 在${\displaystyle k=2}$ 时，反过来亦成立。

• 一个无向图G= (V,E)是连通的，那么边的数目大于等于顶点的数目减一：${\displaystyle |E|\geq |V|-1}$ ，而反之不成立。

• 如果G= (V,E)是有向图，那么它是强连通图的必要条件是边的数目大于等于顶点的数目：${\displaystyle |E|\geq |V|}$ ，而反之不成立。

• 没有回路的无向图是连通的当且仅当它是树，即等价于：${\displaystyle \displaystyle |E|=|V|-1}$ 。

参见

• 代数连通度
• Cheeger constant (graph theory)
• Dynamic connectivity, 并查集
• 扩展图
• Strength of a graph

參考文獻

1. Chapter 11: Digraphs: Principle of duality for digraphs: Definition (PDF). [2020-10-04]. （原始内容 (PDF)于2020-01-10）. 
2. Diestel, R. Graph Theory, Electronic Edition: 12. 2005 [2020-10-04]. （原始内容于2019-12-16）. 
3. Gross, Jonathan L.; Yellen, Jay. Handbook of graph theory. CRC Press. 2004: 335. ISBN 978-1-58488-090-5. 
4. Liu, Qinghai; Zhang, Zhao. The existence and upper bound for two types of restricted connectivity. Discrete Applied Mathematics. 2010-03-01, 158 (5): 516–521. doi:10.1016/j.dam.2009.10.017. 
5. Balbuena, Camino; Carmona, Angeles. On the connectivity and superconnectivity of bipartite digraphs and graphs. Ars Combinatorica. 2001-10-01, 61: 3–22. 
6. Gibbons, A. Algorithmic Graph Theory. Cambridge University Press. 1985. 
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8. Dirac, Gabriel Andrew. In abstrakten Graphen vorhandene vollständige 4-Graphen und ihre Unterteilungen. Mathematische Nachrichten. 1960, 22 (1–2): 61–85. MR 0121311. doi:10.1002/mana.19600220107. .
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