逆变换采样

逆变换采样（英語：inverse transform sampling），又称为逆万流齐一（inversion sampling）、逆概率积分变换（inverse probability integral transform）、逆变换法（inverse transformation method）、斯米尔诺夫变换（Smirnov transform）、黄金法则（golden rule）等^[1]，是伪随机数采样（英语：Pseudo-random number sampling）的一种基本方法。在已知任意概率分布的累积分布函数时，可用于从该分布中生成随机样本。

正态分布的逆变换采样

假设${\displaystyle X}$为一个连续随机变量，其累积分布函数为${\displaystyle F_{X}}$。此时，随机变量${\displaystyle Y=F_{X}(X)}$服从区间[0, 1]上的均匀分布。逆变换采样即是将该过程反过来进行：首先对于随机变量${\displaystyle Y}$，我们从0至1中随机均匀抽取一个数${\displaystyle u}$。之后，由于随机变量${\displaystyle F_{X}^{-1}(Y)}$与${\displaystyle X}$有着相同的分布，${\displaystyle x=F_{X}^{-1}(u)}$即可看作是从分布${\displaystyle F_{X}}$中生成的随机样本。

示例

假设有一个累积分布函数

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)=1-\exp(-{\sqrt {x}}),\end{aligned}}}$ 

我们要从该分布中生成随机样本。${\displaystyle F(x)}$ 的反函数为：

${\displaystyle {\begin{aligned}F(F^{-1}(u))&=u\\1-\exp \left(-{\sqrt {F^{-1}(u)}}\right)&=u\\F^{-1}(u)&=(-\log(1-u))^{2}\\&=(\log(1-u))^{2}.\end{aligned}}}$ 

于是，我们先从0至1中随机均匀抽取${\displaystyle u}$ ，然后计算${\displaystyle F^{-1}(u)=(\log(1-u))^{2}}$ 以得到我们需要的样本。

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参考文献

1. Aalto University, N. Hyvönen, Computational methods in inverse problems. Twelfth lecture https://noppa.tkk.fi/noppa/kurssi/mat-1.3626/luennot/Mat-1_3626_lecture12.pdf^{[永久失效連結]}