贝特公式

贝特公式描述了^[1] 带电粒子(质子，${\displaystyle \alpha }$粒子，离子)穿越介质单位距离时的平均能损，即材料的阻止本领。 对于电子来说，其能损稍有不同，主要是由于其质量较小(要求相对论更正)以及其全同性，并且由于电子的轫致辐射损失能量较多，因此也需要将这一项考虑在内。快速的带电粒子穿过材料时，与材料中原子的电子发生相互作用，从而激发或者电离材料原子，这一相互作用导致粒子的能量损失。

非相对论的贝特公式由汉斯·贝特在1930年发现，而相对论版(见下文)由他在1932年发现^[2]。注意平均能损不同于最可几能损，后者由郎道-瓦维洛夫理论描述。^[3]

贝特公式有时被称为贝特-布洛赫公式，但这是一种误导(见下文)。

公式内容

速度为${\displaystyle v}$ ，电荷数为${\displaystyle z}$ (整数，单位为基本电荷)，能量为${\displaystyle E}$ 的带电粒子，在电子数密度为${\displaystyle n}$ ，平均激发能为${\displaystyle I}$ 的材料中穿越距离${\displaystyle x}$ 时，在国际单位制中，相对论版的贝特公式为：^[2]

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi }{m_{e}c^{2}}}\cdot {\frac {nz^{2}}{\beta ^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}c^{2}\beta ^{2}}{I\cdot (1-\beta ^{2})}}\right)-\beta ^{2}\right]}$

(1)

其中c 是光速，${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ 为真空介电常数， ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$ ， ${\displaystyle e}$  和 ${\displaystyle m_{e}}$ 为基本电荷和电子的静质量。

 

材料的电子数密度${\displaystyle n}$ 可以通过下面公式来计算：

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,}$ 

其中 ${\displaystyle \rho }$  是材料的密度， ${\displaystyle Z}$  是材料的原子序数，${\displaystyle A}$  是相对原子质量，${\displaystyle N_{A}}$  是阿伏伽德罗常数，${\displaystyle M_{u}}$  为摩尔质量常数。

在右图中，黑色圆圈是不同作者给出的实验测量结果，红色曲线是未修正的贝特公式。^[4] 显然，贝特公式在高能区很好地符合了实验结果。 当添加了一些修正项后，贝特公式符合得更好(图中的蓝色曲线，见下文)。

对于低能带电粒子，即相对速度 ${\displaystyle \beta \ll 1}$ ，贝特公式简化为

${\displaystyle -\left\langle {\frac {dE}{dx}}\right\rangle ={\frac {4\pi nz^{2}}{m_{e}v^{2}}}\cdot \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)^{2}\cdot \left[\ln \left({\frac {2m_{e}v^{2}}{I}}\right)\right].}$

(2)

这可以从 (1)式中将 ${\displaystyle \beta c}$  由 ${\displaystyle v}$  替代，并忽略其余 ${\displaystyle \beta ^{2}}$  项得到。

在低能区，根据贝特公式，粒子的能损随 ${\displaystyle v^{2}}$  的增加而降低，并在 ${\displaystyle E=3Mc^{2}}$  达到最小值，其中 ${\displaystyle M}$  是粒子的质量(对于质子来说，该极值点约为3000 MeV)。 在极端相对论的情况下，${\displaystyle \beta \approx 1}$ ，粒子的能损对数增加，这主要是由于电场的横向分量造成的。

参考文献

1. H. Bethe und J. Ashkin in "Experimental Nuclear Physics, ed.
2. Sigmund, Peter Particle Penetration and Radiation Effects.
3. H. Bichsel, Rev.
4. Stopping Power for Light and Heavier Ions. 2015-04-15 [2015-11-01]. （原始内容于2012-02-06）.