譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。

動機

讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明了現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯繫了一個層的上同調群與其正像的上同調群。

人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。

由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶（至少）三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。

形式定義

以下固定一個阿貝爾範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 ${\displaystyle r_{0}}$  及下述資料：

• 對所有整數 ${\displaystyle r\geq r_{0}}$ ，有範疇中的一個對象 ${\displaystyle E_{r}}$ 。
• 自同態 ${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$ ，滿足 ${\displaystyle d_{r}^{2}=0}$ ，稱為邊界映射或微分。
• 從 ${\displaystyle E_{r+1}}$  到 ${\displaystyle H(E_{r},d_{r})}$  的同構。

通常省去 ${\displaystyle E_{r+1}}$  與 ${\displaystyle H(E_{r},d_{r})}$  的同構，而寫成等式。

最基本的例子是鏈複形 ${\displaystyle C_{\bullet }}$ ，它帶有一個微分 ${\displaystyle d}$ 。取 ${\displaystyle r_{0}=0}$ ，並令 ${\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }}$ ，於是必有 ${\displaystyle E_{1}=H(C_{\bullet })}$ ；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零映射。於是有 ${\displaystyle E_{1}=E_{2}=\cdots }$ 。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：

• ${\displaystyle E_{0}=C_{\bullet }}$ 
• ${\displaystyle E_{r}=H(C_{\bullet })\;(r\geq 1)}$ 

由於只有 ${\displaystyle r=0}$  時微分映射才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。

較常見的是雙分次模（或層）範疇上的譜序列，表作 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ，此時的微分映射次數與 ${\displaystyle r}$  有關：對於上同調譜序列，${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$  的次數是 ${\displaystyle (r,-r+1)}$ 。對於同調譜序列，通常將各項寫成 ${\displaystyle E_{r}}$ ，微分映射 ${\displaystyle d^{r}:E_{r}\to E_{r}}$  的次數是 ${\displaystyle (-r,r-1)}$ 。

譜序列之間的態射 ${\displaystyle f:E\to E'}$  定義為一族態射 ${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E_{r}'}$ ，使之與同構 ${\displaystyle E_{r+1}\simeq H(E_{r},d_{r})}$  交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。

正合偶

交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。

同樣固定一個阿貝爾範疇（通常取一個環上的雙分次模）${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ，一個正合偶是：

 

• 一對對象 ${\displaystyle A,C}$ 
• 三個態射：
  • ${\displaystyle f:A\to A}$ 
  • ${\displaystyle g:A\to C}$ 
  • ${\displaystyle h:C\to A}$ 

使之滿足下述正合條件：

• Image f = Kernel g
• Image g = Kernel h
• Image h = Kernel f

將這組資料簡記為 ${\displaystyle (A,C,f,g,h)}$ 。正合偶通常以三角形表示。${\displaystyle C}$  對應到譜序列的 ${\displaystyle E_{0}}$  項，而 ${\displaystyle A}$  是一些輔助資料。

為了得到譜序列的後續項，以下將構造導出偶。令：

• ${\displaystyle d:=g\circ h}$ 
• ${\displaystyle A':=f(A)}$ 
• ${\displaystyle C':=\mathrm {Ker} (d)/\mathrm {Im} (d)}$ 
• ${\displaystyle f':=f|_{A'}}$ 
• ${\displaystyle h':C'\to A'}$  由 ${\displaystyle h}$  導出。
• ${\displaystyle g':A'\to C'}$  定義如下：若 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  為某個環上的模範疇，對任一 ${\displaystyle a\in A'}$ ，存在 ${\displaystyle b\in A'}$  使得 ${\displaystyle a=f(b)}$ ，定義 ${\displaystyle g'(a)}$  為 ${\displaystyle g(b)}$  在 ${\displaystyle C'}$  中的像。一般而言，可利用 Mitchell 嵌入定理構造態射 ${\displaystyle g'}$ 。

現在可以驗證 ${\displaystyle (A',C',f',g',h')}$  構成正合偶。${\displaystyle C'}$  對應到譜序列的 ${\displaystyle E_{1}}$  項。續行此法，可以得到一族正合偶 ${\displaystyle (A^{(n)},C^{(n)},f^{(n)},g^{(n)},h^{(n)})}$ 。相應的譜序列定義為 ${\displaystyle E_{n}:=C^{(n)}}$ ，${\displaystyle d_{n}:=g^{(n)}\circ h^{(n)}}$ 。

圖解

 

譜序列的 E₂ 項

一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 ${\displaystyle r,p,q}$ 。對每個 ${\displaystyle r}$ ，設想有一張方格紙，分別讓 ${\displaystyle p,q}$  對應於橫、縱軸。每一個格子點 ${\displaystyle (p,q)}$  對應到對象 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ 。微分 ${\displaystyle d_{r}}$  的次數為 ${\displaystyle (r,-r+1)}$ ，方向如圖所示。

收斂與退化

在第一個簡單的例子中，譜序列在 ${\displaystyle r\geq 1}$  後的微分映射皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 ${\displaystyle E_{\infty }:=E_{r}\;(r\geq 1)}$ 。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。

定義：若譜序列 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  對每個 ${\displaystyle (p,q)}$  都存在 ${\displaystyle r(p,q)\in \mathbb {N} }$ ，使得當 ${\displaystyle r\geq r(p,q)}$  時，${\displaystyle d_{r}^{p-r,q+r-1}:E_{r}^{p-r,q+r-1}\to E_{r}^{p,q}}$  及 ${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$  皆為零，則稱 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  之極限項為 ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}:=E_{r}^{p,q}}$ （取充分大的 ${\displaystyle r}$ ）。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。

其中的指標 ${\displaystyle p}$  指涉過濾結構。

若存在對象 ${\displaystyle E^{\bullet }}$ 、過濾結構 ${\displaystyle \cdots \subset F^{p+1}E^{\bullet }\subset F^{p}E^{\bullet }\subset \cdots }$ ，及一族同構 ${\displaystyle \beta ^{p,q}:E_{\infty }^{p,q}\simeq \mathrm {gr} ^{p}E^{p+q}}$ ，滿足 ${\displaystyle \bigcap _{p}F^{p}E^{\bullet }=(0),\bigcup _{p}F^{p}E^{\bullet }=E^{\bullet }}$ （這種過濾稱為「正則過濾」），則稱 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  收斂到 ${\displaystyle E^{\bullet }}$ ，通常表為下述符號：

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$ 

習慣上，人們也常將左式寫成 ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ ，因為譜序列中最重要的頁往往是 ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ 。

最簡單的收斂特例是退化：

定義：固定 ${\displaystyle r\in \mathbb {N} }$ ，若對每個 ${\displaystyle s\geq r}$ ，微分映射 ${\displaystyle d_{s}}$  都是零，則稱該譜序列在第 ${\displaystyle r}$  頁退化。

退化性保證了 ${\displaystyle E_{r}\simeq E_{r+1}\simeq \cdots }$ ，此時 ${\displaystyle E_{r}}$  即其極限。如果一個雙分次譜序列 ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$  的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 ${\displaystyle r=2}$  時退化。

例子

過濾結構導出的譜序列

最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的對象，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個對象 ${\displaystyle C}$  及微分映射 ${\displaystyle d:C\to C}$  ，使之滿足 ${\displaystyle d^{2}=0}$ ，以及

${\displaystyle C=F^{0}C\supset F^{1}C\supset \cdots F^{n}C\supset F^{n+1}C=0}$ 

${\displaystyle dF^{p}C\subset F^{p}C}$ 

同調群上也有相應的過濾

${\displaystyle F^{p}H(C,d):=\mathrm {Im} (H(F^{p}C,d)\to H(C,d)}$ 

對此，定義相應的分次對象

${\displaystyle \mathrm {gr} _{F}C:=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}C/F^{p+1}C}$ 

${\displaystyle \mathrm {gr} _{F}H(C):=\bigoplus _{p\geq 0}F^{p}H(C)/F^{p+1}H(C))}$ 

取微分映射為零，可視之為複形。

以下式定義譜序列：

${\displaystyle Z_{r}^{p}:={x\in F^{p}C:dx\in F^{p+r}C}}$ 

${\displaystyle E_{r}^{p}:=Z_{r}^{p}/(dZ_{r-1}^{p-r+1}+Z_{r-1}^{p+1})=Z_{r}^{p}/(Z_{r}^{p}\cap (dF^{p-r+1}C+F^{p+1}C))}$ 

此時有 ${\displaystyle E_{0}^{p}=F^{p}C/F^{p+1}C,E_{1}^{p}=H(\mathrm {gr} ^{p}C)}$ ，且譜序列收斂：

${\displaystyle E_{r}^{p}\Rightarrow E_{\infty }^{p}=\mathrm {gr} ^{p}H(C)}$ 

通常也寫成 ${\displaystyle E_{r}\Rightarrow H(C)}$ 。

取 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的對象 ${\displaystyle C}$  是個上鏈複形 ${\displaystyle \cdots \to C^{q}\to C^{q+1}\to \cdots }$ ，${\displaystyle d}$  是上鏈複形的微分映射。上述譜序列帶有三個指標 ${\displaystyle p,q,r}$ ，並可進一步化成下述形式：

${\displaystyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$ 

${\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\mathrm {gr} ^{p}C^{\bullet })}$ 

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=\mathrm {gr} ^{p}(H^{p+q}(C^{\bullet }))}$ 

雙複形的譜序列

以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組對象 ${\displaystyle C^{p,q}}$ ，及兩組微分映射 ${\displaystyle d':C^{p,q}\to C^{p+1,q}}$  及 ${\displaystyle d'':C^{p,q}\to C^{p,q+1}}$ ，滿足

${\displaystyle d'^{2}=d''^{2}=0}$ 

${\displaystyle d'd''+d''d'=0}$ 

對一個雙複形，可定義其全複形 ${\displaystyle (C,D)}$ （也記為 ${\displaystyle T(C)}$  或 ${\displaystyle \mathrm {Tot} (C)}$ ） 為

${\displaystyle C^{n}:=\bigoplus _{p+q=n}C^{p,q}}$ 

${\displaystyle D:=d'+d''}$ 

${\displaystyle C}$  上有兩組過濾，分別是：

${\displaystyle ('F^{p}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,i\geq p}C^{i,j}}$ 

${\displaystyle (''F^{q}C)^{n}:=\bigoplus _{i+j=n,\,j\geq q}C^{i,j}}$ 

它們給出兩個譜序列 ${\displaystyle 'E_{r}}$  與 ${\displaystyle ''E_{r}}$ 。首先計算 ${\displaystyle 'E_{0},'E_{1},'E_{2}}$  項：

${\displaystyle 'E_{0}^{i,j}=C^{i,j}}$ 

${\displaystyle 'E_{1}^{i,j}=H_{d''}^{j}(C^{i,\bullet })}$ 

${\displaystyle 'E_{2}^{i,j}=H_{d'}^{i}(H_{d''}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad }$ （即：先取縱向上同調，再取橫向上同調）

同理可計算 ${\displaystyle ''E_{0},''E_{1},''E_{2}}$ ：

${\displaystyle ''E_{0}^{i,j}=C^{j,i}}$ 

${\displaystyle ''E_{1}^{i,j}=H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,i})}$ 

${\displaystyle ''E_{2}^{i,j}=H_{d''}^{i}(H_{d'}^{j}(C^{\bullet ,\bullet }))\qquad }$ （即：先取橫向上同調，再取縱向上同調）。

這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 ${\displaystyle r}$  增大，它們都收斂到 ${\displaystyle H(C)}$ ，由此可以得到一些有趣的比較定理。

例子

Tor函子的交換性

利用譜序列，可以迅速導出Tor函子的交換性，即一自然同構：

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}(M,N)=\mathrm {Tor} _{i}(N,M)}$ 

取定平坦分解 ${\displaystyle P_{\bullet }\to M\to 0}$  及 ${\displaystyle Q_{\bullet }\to N\to 0}$ 。視之為集中於正項的複形，其微分映射分別記為 ${\displaystyle d,e}$ 。考慮雙複形 ${\displaystyle C_{i,j}:=P_{i}\otimes Q_{j}}$ ，其微分映射定義為 ${\displaystyle d_{i,j}:=d_{i}\otimes \mathrm {id} +(-1)^{j}\mathrm {id} \otimes e_{j}}$ （以使微分映射滿足反交換性）。取其譜序列，遂得到：

${\displaystyle 'E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))}$ 

${\displaystyle ''E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes H_{p}^{I}(P_{\bullet }))}$ 

由於複形 ${\displaystyle P_{\bullet },Q_{\bullet }}$  是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：

${\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)={\mbox{Tor}}_{p}(M,N)}$ 

${\displaystyle H_{q}^{II}(Q_{\bullet }\otimes M)={\mbox{Tor}}_{q}(N,M)}$ 

故 ${\displaystyle 'E_{p,q}^{2}}$  只在 ${\displaystyle p=0}$  上有非零項，而 ${\displaystyle ''E_{p,q}^{2}}$  只在 ${\displaystyle q=0}$  上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此導出同構：

${\displaystyle {\mbox{Tor}}_{p}(M,N)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$ 

${\displaystyle {\mbox{Tor}}_{q}(N,M)\cong E_{p,q}^{\infty }={\mbox{gr}}_{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$ 

當 ${\displaystyle p=q}$  時，上述等式的右項同構（雖然其分次結構不同），由此得到 Tor 的交換性。

示性數

運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分映射一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  及一個交換群 ${\displaystyle C}$ ，所謂示性數是一個函數 ${\displaystyle \chi :\mathrm {Ob} {\mathcal {A}}\to C}$ ，滿足：

• ${\displaystyle \forall 0\to Y\to X,\;\chi (X)=\chi (Y)+\chi (X/Y)}$ 
• ${\displaystyle X\simeq Y\Rightarrow \chi (X)=\chi (Y)}$ 

例如：取 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  為某個域 ${\displaystyle k}$  上的有限維向量空間範疇，則 ${\displaystyle \chi :V\mapsto \dim _{k}V}$  是一個示性數。

對任一 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  上的有限複形 ${\displaystyle K^{\bullet }}$ ，定義

${\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (K^{i})}$ 

容易證明 ${\displaystyle \chi (K^{\bullet })=\sum _{i}(-1)^{i}\chi (H^{i}(K^{\bullet }))}$ 。考慮任一在 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$  上的收斂譜序列 ${\displaystyle (E_{r}^{\bullet })}$ ，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到

${\displaystyle \chi (E_{r}^{\bullet })=\chi (E_{r+1}^{\bullet })=\cdots =\chi (E_{\infty }^{\bullet })}$ 

然而

${\displaystyle \chi (E^{n})=\sum _{p}\chi (F^{p}E^{n}/F^{p+1}E^{n})=\sum _{p}\chi (E_{\infty }^{p,n-p})}$ 

於是得到

${\displaystyle \forall r,\;\sum _{n}(-1)^{n}\chi (E^{n})=\chi (E_{r}^{\bullet })}$ 

參考資料

歷史文獻

• Leray, Jean. L'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1366––1368. 
• Leray, Jean. Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation. C. R. Acad. Sci. Paris. 1946, 222: 1419––1422. 
• Koszul, Jean-Louis. Sur les opérateurs de dérivation dans un anneau. C. R. Acad. Sci. Paris. 1947, 225: 217––219. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. I, II. Ann. of Math. (2nd series). 1952, 56: 363––396. 
• Massey, William S. Exact couples in algebraic topology. III, IV, V. Ann. of Math. (2nd series). 1953, 57: 248––286. 

當代文獻

• S.N. Malygin, Spectral Sequence, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• McCleary, John. A User's Guide to Spectral Sequences 2nd Edition. Cambridge University Press. February 2001: 560 pp. doi:10.2277/0521567599. ISBN 978-0-521-56759-6.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Mosher, Robert; Martin Tangora. Cohomology Operations and Applications in Homotopy Theory. Harper and Row. 1968.  引文使用过时参数coauthors (帮助)
• Hatcher, Allen. Spectral Sequences in Algebraic Topology (PDF). [2007-08-17]. （原始内容于2014-02-05）. 
• Chow, Timothy Y. You Could Have Invented Spectral Sequences (PDF). Notices of the American Mathematical Society. January 2006, 53: 15––19 [2007-08-17]. （原始内容 (PDF)于2006-10-06）.