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證明22, 大於π, 人們經常使用22, displaystyle, frac, 這個有理數作為圓周率π, displaystyle, 的丢番圖逼近, 在π, displaystyle, 的連分數表達中, displaystyle, frac, 是它的一個渐近分數, 從這兩個數字的小數形式可見22, displaystyle, frac, 是大於π, displaystyle, 142857, displaystyle, frac, approx, 142857, dots, 141592, displaystyl. 人們經常使用22 7 displaystyle frac 22 7 這個有理數作為圓周率p displaystyle pi 的丢番圖逼近 在p displaystyle pi 的連分數表達中 22 7 displaystyle frac 22 7 是它的一個渐近分數 從這兩個數字的小數形式可見22 7 displaystyle frac 22 7 是大於p displaystyle pi 的 22 7 3 142857 displaystyle frac 22 7 approx 3 142857 dots p 3 141592 displaystyle pi approx 3 141592 dots 這個近似值從古代就有人使用 縱使阿基米德並非這個近似值的始創者 但他證明了22 7 displaystyle 22 over 7 高估了圓周率 他以22 7 displaystyle 22 over 7 大於外切正96邊形的周界 該圓直徑之比作證明 這個近似值常被稱為 約率 1 除這以外 常用的近似值還有同是由祖沖之在5世紀提出的密率 355 113 displaystyle 355 over 113 以下是另一個22 7 gt p displaystyle frac 22 7 gt pi 的證明 所用到的只是微積分的基本技巧 它本來只是用於顯示可以用有系統的方法計算p的值 而非以證明22 7 gt p displaystyle frac 22 7 gt pi 為最終目標 它比起一些基本證明更容易理解 2 它的優雅是由於它和丟番圖逼近的關連 路卡斯稱這條公式為 其中一個估計p值的最美麗結果 3 Havil以這個結果作爲一個有關以連分數估計的討論之結尾 說它在該範疇是 不得不提及 的 4 目录 1 概念 2 詳情 2 1 布肯南數學比賽中的出現 3 上限和下限 4 參考資料 5 相關條目 6 外部連結概念 编辑0 lt 0 1 x 4 1 x 4 1 x 2 d x 22 7 p displaystyle 0 lt int 0 1 frac x 4 1 x 4 1 x 2 dx frac 22 7 pi nbsp 故此22 7 gt p displaystyle frac 22 7 gt pi nbsp 詳情 编辑被積函數是一個分數 其分子和分母皆是非負函數 所以該積分是正數 由於被積函數是正數 由0至1的定積分也大於0 以下就證明該積分實際上與22 7 displaystyle 22 over 7 nbsp 的關係 0 displaystyle 0 nbsp lt 0 1 x 4 1 x 4 1 x 2 d x displaystyle lt int 0 1 frac x 4 1 x 4 1 x 2 dx nbsp 0 1 x 4 4 x 5 6 x 6 4 x 7 x 8 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 frac x 4 4x 5 6x 6 4x 7 x 8 1 x 2 dx nbsp 展開分子的數項 0 1 x 6 4 x 5 5 x 4 4 x 2 4 4 1 x 2 d x displaystyle int 0 1 left x 6 4x 5 5x 4 4x 2 4 frac 4 1 x 2 right dx nbsp 多項式長除法 x 7 7 2 x 6 3 x 5 4 x 3 3 4 x 4 arctan x 0 1 displaystyle left frac x 7 7 frac 2x 6 3 x 5 frac 4x 3 3 4x 4 arctan x right 0 1 nbsp 定積分 微积分基本定理 1 7 2 3 1 4 3 4 p displaystyle frac 1 7 frac 2 3 1 frac 4 3 4 pi nbsp 把結果代入1和0 然後相減 注意 arctan 1 p 4 displaystyle arctan 1 frac pi 4 nbsp 22 7 p displaystyle frac 22 7 pi nbsp 加數布肯南數學比賽中的出現 编辑 求取這積分的值是1968年威廉 罗威尔 普特南数学竞赛的第一個題目 5 A 1 证明22 7 p 0 1 x 4 1 x 4 1 x 2 d x displaystyle frac 22 7 pi int 0 1 frac x 4 1 x 4 1 x 2 dx nbsp dd 上限和下限 编辑達賽爾 1944 指出 只要把1代入分母中的x displaystyle x nbsp 可輕易取得積分的下限 把0代入分母中的x displaystyle x nbsp 可取得積分的上限 6 1 1260 lt 0 1 x 4 1 x 4 1 x 2 d x lt 1 630 displaystyle 1 over 1260 lt int 0 1 x 4 1 x 4 over 1 x 2 dx lt 1 over 630 nbsp 結果得出 22 7 1 630 lt p lt 22 7 1 1260 displaystyle 22 over 7 1 over 630 lt pi lt 22 over 7 1 over 1260 nbsp 也許這是計算p displaystyle pi nbsp 值至小數後3位的最快和最基本的方法 另參見達賽爾 1971 7 參考資料 编辑 韩雪涛 数学科普 常识性谬误流传令人忧 中华读书报 2001年8月29日 2006年10月6日 原始内容存档于2007年9月29日 雖然它又被為 疏率 但有數學家指出這名稱不適合 比較愛德華 梅特蘭 賴特和高德菲 哈羅德 哈代 第22章中的質數定理的基本證明 1938 數論介紹 第5版 美國牛津大學出版社 1980年4月17日 ISBN 978 0 19 853171 5 Lucas Stephen Integral proofs that 355 113 gt p Australian Mathematical Society Gazette 32冊 4號 263 266頁這著作開首便道這是 其中一個估計p值的最美麗結果 Havil Julian Gamma Exploring Euler s Constant Princeton University Press 2003 96頁 ISBN 978 0 691 09983 5 edited by Gerald L Alexanderson Leonard F Klosinski Loren C Larson 编 The Twenty Ninth William Lowell Putnam Mathematical Competition December 7 1968 The William Lowell Putnam Mathematical Competition problems and solutions 1965 1984 Washington DC The Mathematical Association of America 1985 p 9 ISBN 978 0 88385 441 9 引文格式1维护 冗余文本 link Dalzell D P 1944 On 22 7 Journal of the London Mathematical Society 19 133 134頁 Dalzell D P 1971 On 22 7 and 355 113 Eureka the Archimedeans Journal 34冊 pages 10 13頁 相關條目 编辑圓周率 證明0 999 等於1 证明所有素数的倒数之和发散 费马平方和定理的证明 數學符號表外部連結 编辑Pi的故事 页面存档备份 存于互联网档案馆 Jonathan Borwein著 第5頁出現這積分 取自 https zh wikipedia org w index php title 證明22 7大於p amp oldid 79707533, 维基百科,wiki,书籍,书籍,图书馆,