角度條件

角度條件（angle condition）是自動控制的根軌跡圖中，有關角度的限制條件，根軌跡圖中的點和閉迴路極點、零點組成向量的角度會滿足角度條件。角度條件和量值條件可以完全確定根軌跡圖。

根軌跡圖上的每一點和極點、零點組成向量的量值會滿足量值條件

令系統的特徵方程為${\displaystyle 1+{\textbf {G}}(s)=0}$，其中${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}}$。若將控制方程改為極坐標表示

${\displaystyle e^{j2\pi }+{\textbf {G}}(s)=0}$

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)=-1=e^{j(\pi +2k\pi )}}$

其中${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$為方程式中的解。將${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$改寫為各因式相乘的形式

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)={\frac {{\textbf {P}}(s)}{{\textbf {Q}}(s)}}=K{\frac {(s-a_{1})(s-a_{2})\cdots (s-a_{n})}{(s-b_{1})(s-b_{2})\cdots (s-b_{m})}},}$

再將因式${\displaystyle (s-a_{p})}$及${\displaystyle (s-b_{q})}$用向量的形式${\displaystyle A_{p}e^{j\theta _{p}}}$及${\displaystyle B_{q}e^{j\varphi _{q}}}$表示，因此可以改寫${\displaystyle {\textbf {G}}(s)}$如下。

${\displaystyle {\textbf {G}}(s)=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}}$

簡化特徵方程式，

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{j(\pi +2k\pi )}&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n})}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}e^{j(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}}}\\[6pt]&=K{\frac {A_{1}A_{2}\cdots A_{n}}{B_{1}B_{2}\cdots B_{m}}}e^{j(\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m}))},\end{aligned}}}$

因此可以得到角度條件：

${\displaystyle \pi +2k\pi =\theta _{1}+\theta _{2}+\cdots +\theta _{n}-(\varphi _{1}+\varphi _{2}+\cdots +\varphi _{m})}$

其中${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$,

${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2},\ldots ,\theta _{n}}$

為極點1至n的角度，而

${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2},\ldots ,\varphi _{m}}$

為零點1至m的角度。

也可以用類似的方式推導量值條件。