西格爾引理

在數學上，特別是超越數論和丟番圖逼近的研究中，西格爾引理（Siegel's lemma）指的是從輔助函數的構造中得到的線性方程的解的界限。這些多項式的存在性由阿克塞爾·圖厄所證明：^[1]圖厄的證明用到了鴿巢原理，卡爾·路德维希·西格爾在1929年出版此引理。^[2]這是一個線性方程組方面純粹的存在性定理。

近年來，西格爾引理受到改進以得出比引理給出的估計更強的界限。^[3]

陳述

設有一組有${\displaystyle M}$ 個方程、${\displaystyle N}$ 個未知數，且${\displaystyle N>M}$ 的方程組，其中的方程式有著如下的形式：

${\displaystyle a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0}$ 

${\displaystyle \cdots }$ 

${\displaystyle a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0}$ 

在這些方程組的係數為有理數、不全為零，且以${\displaystyle B}$ 為界的狀況下，這方程組有如下的解：

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})}$ 

其中的${\displaystyle X}$ 全為有理數、不全為0，且上下界如下：

${\displaystyle (NB)^{M/(N-M)}}$ ^[4]

Bombieri及Vaaler在1983年對${\displaystyle X}$ 給出了如下更強的界限（Bombieri & Vaaler (1983)）：

${\displaystyle \max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}}$ 

其中${\displaystyle D}$ 是矩陣${\displaystyle A}$ 的${\displaystyle M\times M}$ 子式的最大公因數，而${\displaystyle A^{T}}$ 則是其轉置矩陣。他們的證明涉及了將鴿巢原理以幾何數論的技巧取代的做法。

參見

• 丟番圖逼近

參考資料

1. Thue, Axel. Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen. J. Reine Angew. Math. 1909, 1909 (135): 284–305. S2CID 125903243. doi:10.1515/crll.1909.135.284. 
2. Siegel, Carl Ludwig. Über einige Anwendungen diophantischer Approximationen. Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys. Math. Kl. 1929: 41–69. , reprinted in Gesammelte Abhandlungen, volume 1; the lemma is stated on page 213
3. Bombieri, E.; Mueller, J. On effective measures of irrationality for ${\displaystyle {\scriptscriptstyle {\sqrt[{r}]{a/b}}}}$  and related numbers. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1983, 342: 173–196. 
4. （Hindry & Silverman 2000） Lemma D.4.1, page 316.

• Bombieri, E.; Vaaler, J. On Siegel's lemma. Inventiones Mathematicae. 1983, 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73...11B. S2CID 121274024. doi:10.1007/BF01393823. 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. Diophantine geometry. Graduate Texts in Mathematics 201. Berlin, New York: Springer-Verlag. 2000. ISBN 978-0-387-98981-5. MR 1745599. 
• Wolfgang M. Schmidt. Diophantine approximation. Lecture Notes in Mathematics 785. Springer. (1980 [1996 with minor corrections]) (Pages 125-128 and 283–285)
• Wolfgang M. Schmidt. "Chapter I: Siegel's Lemma and Heights" (pages 1–33). Diophantine approximations and Diophantine equations, Lecture Notes in Mathematics, Springer Verlag 2000.