蛇引理

在同調代數中，蛇引理是構造長正合序列的關鍵工具，此引理在任何阿貝爾範疇中皆成立。依此構造的同態通常稱作連結同態。

敘述

考慮一阿貝爾範疇${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ （例如阿貝爾群或模的範疇）中的交換圖：

 

使得每一橫列均為正合序列。此時存在一個聯繫${\displaystyle a,b,c}$ 的核與上核的正合序列：

${\displaystyle \ker a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\ker c\;{\overset {d}{\longrightarrow }}\operatorname {coker} a\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} b\;{\color {Gray}\longrightarrow }\operatorname {coker} c}$ 

此外，若${\displaystyle f}$ 是單射，則${\displaystyle \ker a\to \ker b}$ 亦然；若${\displaystyle g'}$ 是滿射，則${\displaystyle \mathrm {coker} b\to \mathrm {coker} c}$ 亦然。

引蛇出洞

為了理解蛇引理的由來，觀察下圖：

 

並注意到：引理給出的正合序列可在此圖中畫成倒S狀的蛇形。

構造連接同態

核間的同態與上核間的同態很容易構造，它們由該圖的交換性自然導出，正合性也可以直接代定義驗證。重點在於連接同態${\displaystyle d}$ 及序列在該處的正合性。

對於模範疇的情形，同態${\displaystyle d}$ 可如是構造：

選定${\displaystyle x\in \ker c}$ ，並視之為${\displaystyle C}$ 的元素；由於${\displaystyle g}$ 是滿射，存在${\displaystyle y\in B}$ 滿足${\displaystyle g(y)=x}$ 。由圖的交換性，我們有

${\displaystyle g'(b(y))=c(g(y))=c(x)=0}$ （因為${\displaystyle x\in \ker c}$ ）

於是${\displaystyle b(y)\in \ker g'}$ 。由於底部的橫列正合，存在${\displaystyle z\in A'}$ 使得${\displaystyle f'(z)=b(y)}$ 。置${\displaystyle d(x):=z+\mathrm {im} (a)}$ 。今須驗證${\displaystyle d}$ 是明確定義的，即${\displaystyle d(x)}$ 不依賴${\displaystyle y,z}$ 之選取；此外尚須驗證它是個同態，及序列的正合性。

一旦完成以上幾點驗證，即證明了此引理在模範疇的情形。對一般情形，可利用核與上核的泛性；此外也能使用Mitchell嵌入定理，此定理斷言任一阿貝爾範疇都能遷入某個環${\displaystyle R}$ 的${\displaystyle R}$ -模範疇。

函子性

在應用上，我們常常需要長正合列的「函子性」或曰「自然性」（就自然變換意義言之）；各種建構的函子性也是同調代數的基本哲學。此函子性可由蛇引理的函子性導出。

設交換圖

 

的橫列均為正合，則可利用蛇引理兩次，一次在「前」一次在「後」，產生兩條長正合序列；它們經由以下交換圖相連繫：

 

文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X