范德蒙矩陣

在線性代數中，范德蒙矩陣的命名來自亞歷山大‑泰奧菲爾·范德蒙（英语：Alexandre-Théophile Vandermonde）的名字，范德蒙矩陣是一個各列呈現出幾何級數關係的矩陣，例如：

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}}$

或以第i行第j列的關係寫作：

${\displaystyle V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}}$

（部分作者將上述矩陣寫成轉置後的形式，也就是一整排的 1 不列在左邊，而是列在上面。）

n階范德蒙矩陣的行列式可以表示為：

${\displaystyle \det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})}$

當${\displaystyle \alpha _{i}}$各不相同时，${\displaystyle \det(V)}$不为零。

上述的行列式又稱作判別式。

以行列式的萊布尼茨公式表示

${\displaystyle \det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},}$

可以把公式改寫為

${\displaystyle \prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},}$

S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 m≤n，則矩陣 V 有最大的秩 rank (m)。

參閱

• 拉格朗日多項式
• 朗斯基行列式