置換

  「置换」重定向至此。關於化学中的置换，請見「置换反应」。

排列（英語：Permutation）是將相異物件或符號根據確定的順序重排。每個順序都稱作一個排列^{[注 1]}。例如，從一到六的數字有720種排列，對應於由這些數字組成的所有不重複亦不闕漏的序列，例如"4, 5, 6, 1, 2, 3" 與1, 3, 5, 2, 4, 6。

P(3,3)=6

置換（排列）的廣義概念在不同語境下有不同的形式定義：

• 在集合論中，一個集合的置換是從該集合映至自身的雙射；在有限集的情況，便與上述定義一致。
• 在組合數學中，置換一詞的傳統意義是一個有序序列，其中元素不重複，但可能有闕漏。例如1,2,4,3可以稱為1,2,3,4,5,6的一個置換，但是其中不含5,6。此時通常會標明為「從n個對象取r個對象的置換」。

置換數的计算

此節使用置換的傳統定義。从${\displaystyle n}$ 个相異元素中取出${\displaystyle k}$ 个元素，${\displaystyle k}$ 个元素的排列數量為：

${\displaystyle P_{k}^{n}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$ 

其中P意为Permutation（排列），!表示階乘運算。

以賽馬為例，有8匹马参加比赛，玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码，從8匹馬中取出3匹馬來排前3名，排列數量為：

${\displaystyle P_{3}^{8}={\frac {8!}{(8-3)!}}=336}$ 

因为一共存在336种可能性，因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是：

${\displaystyle P={\frac {1}{336}}=0.00298}$ 

不過，中國大陸的教科書則是把從n取k的情況記作${\displaystyle P_{n}^{k}}$ 或${\displaystyle A_{n}^{k}}$ （A代表Arrangement，即排列）。

重複置換

上面的例子是建立在取出元素不重複出現狀況。

從${\displaystyle n}$ 个元素中取出${\displaystyle k}$ 个元素，${\displaystyle k}$ 个元素可以重复出现，這排列數量為：

${\displaystyle U_{k}^{n}=n^{k}}$ ^[1]

以四星彩為例，10個數字取4個數字，因可能重複所以排列數量為：

${\displaystyle U_{4}^{10}=10^{4}=10000}$ 

这时的一次性添入中奖的概率就应该是：

${\displaystyle P={\frac {1}{10000}}=0.0001}$ 

抽象代數

在集合論與抽象代數等領域中，「置換」一詞被保留為集合（通常是有限集）到自身的雙射的一個稱呼。例如對於從一到十的數字構成的集合，其置換將是從集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,10\}}$  到自身的雙射。因此，置換是擁有相同定義域與上域的函數，且其為雙射的。一個集合上的置換在函數合成運算下構成一個群，稱為對稱群或置換群。

符號

更多信息：對稱群 (n次对称群)

以下僅考慮有限集上的置換（視為雙射），由於 ${\displaystyle n}$  個元素的有限集可以一一對應到集合 ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ，有限集的置換可以化約到形如 {1, ..., n} 的集合之置換。此時有兩種表示法。

第一，利用矩陣符號將自然排序寫在第一列，而將置換後的排序寫在第二列。例如：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix}}}$ 

表示集合 {1,2,3,4,5} 上的置換 ${\displaystyle s:s(1)=2,s(2)=5,s(3)=4,s(4)=3,s(5)=1}$ 。

第二，藉由置換的相繼作用描述，這被稱為「轮换分解」。分解方式如下：固定置換 ${\displaystyle s}$ 。對任一元素 ${\displaystyle x}$ ，由於集合有限而 ${\displaystyle s}$  是雙射，必存在正整數 ${\displaystyle N}$  使得 ${\displaystyle s^{N}(x)=x}$ ，故可將置換 ${\displaystyle s}$  對 ${\displaystyle x}$  的相繼作用表成 ${\displaystyle (x\;s(x)\;s^{2}(x)\cdots s^{m-1}(x))}$ ，其中 ${\displaystyle m}$  是滿足 ${\displaystyle s^{m}(x)=x}$  的最小正整數。

稱上述表法為 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle s}$  下的轮换， ${\displaystyle m}$  稱為轮换的長度。我們在此將轮换視作環狀排列，例如

${\displaystyle (a_{1}\;a_{2}\;a_{3}\cdots a_{m})}$  與

${\displaystyle (a_{m}\;a_{1}\;a_{2}\cdots a_{m-1})}$ 

是同一個轮换。由此可知 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle s}$  下的轮换只決定於 ${\displaystyle x}$  在 ${\displaystyle s}$  作用下的軌道，於是，任兩個元素 ${\displaystyle x,y}$  或給出同一個轮换，或給出不交的轮换。

我們將轮换 ${\displaystyle (x_{1}\;\cdots x_{m})}$  理解為一類特殊的置換^{[注 2]}：僅須定義置換 ${\displaystyle s}$  為 ${\displaystyle s:x_{1}\mapsto x_{2},\ldots ,x_{m-1}\mapsto x_{m},x_{m}\mapsto x_{1}}$ ，而在其它元素上定義為恆等映射。不交的轮换在函數合成的意義下可相交換。

因此我們可以將集合 {1, ..., n} 對一置換分解成不交轮换的合成，此分解若不計順序則是唯一的。例如前一個例子的 ${\displaystyle s}$  就對應到 (1 2 5) (3 4) 或 (3 4) (1 2 5)。

輪換

輪換一是種特殊的置換。

如果給定${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ 是${\displaystyle X}$ 上的一個置換，${\displaystyle A}$ 為${\displaystyle X}$ 上的一個子集。

若有

${\displaystyle \exists A\subset X,A=\{x_{1},x_{2},\cdots ,x_{l}\}}$ 

${\displaystyle {\begin{cases}f(x_{1})=x_{2},f(x_{2})=x_{3},\cdots ,f(x_{l})=x_{1}\\f(x)=x,x\not \in A\end{cases}}}$ 

則稱${\displaystyle f}$  為一個輪換。${\displaystyle l}$  為輪換的長度。

特殊置換

在上節的置换表法中，長度等於二的環狀置换稱為換位，這種環狀置换 ${\displaystyle (x\;y)}$  不外是將元素 ${\displaystyle x,y}$  交換，並保持其它元素不變。對稱群可以由換位生成。

由於環狀置換長度為${\displaystyle l}$ 的置換${\displaystyle C}$ 可分解為最少${\displaystyle k=l-1}$ 個換位，若${\displaystyle k}$ 為偶數，則${\displaystyle C}$ 為偶換位，否則${\displaystyle C}$ 為奇換位。即環狀置換的長度為奇數，該置換為偶換位；環狀置換的長度為偶數，該置換為奇換位。

由此可定義任一置換的奇偶性，並可證明：一個置換是偶換位的充要條件是它可以由偶數個換位生成。偶换位在置換群中構成一個正規子群，稱為交错群。

計算理論中的置換

某些舊課本將置換視為變數值的賦值。在計算機科學中，這就是將值

1, 2, ..., n

賦予變數

x₁, x₂, ..., x_n

的賦值運算子，並要求每個值只能賦予一個變數。

賦值/代入的差別表明函數式編程與指令式編程之差異。純粹的函數式編程並不提供賦值機制。現今數學的慣例是將置換看作函數，其間運算看作函數合成，函數式編程也類似。就賦值語言的觀點，一個代入是將給定的值「同時」重排，這是個有名的問題。

置換圖

 

(2,5,1,4,3,6)的置換圖

取一個無向圖G，將圖G的n個頂點標記v₁,...,v_n，對應一個置換( s(1) s(2) ... s(n) )，若且唯若s(i) < s(j) 而 i > j，則圖的v_i和v_j相連，這樣的圖稱為置換圖。

置換圖的補圖必是置換圖。

使用計算器

多數計算器都有個計算置換數的 nPr 鍵。然而此鍵在一些最先進的桌上型機種中卻被隱藏了。例如：在 TI-83 中，按 MATH、三次右鍵、再按二。在卡西歐的圖形計算機中，按 OPTN，一次右鍵（F6）、PROB（F3）、nPr（F2）。

試算表語法

多數試算表軟件都有函式 PERMUT(Number，Number chosen)，用以計算置換。Number 是描述物件數量的一個整數，Number chosen 是描述每個置換中所取物件數的整數。

C++演算範例

迴圈法

#include <iostream> using namespace std; bool arrsame(int* arr, int len, int num) {  int i;  for (i = 0; i < len; i++)  if (arr[i] == num)  break;  return i != len; } bool next_perm(int* perm, const int k, const int n) {  int i = k - 1;  do  perm[i]++;  while (arrsame(perm, i, perm[i]) || (perm[i] >= n && i--));  if (perm[0] >= n)  return 0;  for (int num = 0, seat = i + 1; seat < k; num++)  if (!arrsame(perm, i + 1, num))  perm[seat++] = num;  return 1; } int main() {  int n, k;  cout << "perm(n,k):" << endl;  cin >> n >> k;  if (n < k || k <= 0)  return 0;  int* perm = new int[k];  for (int i = 0; i < k; i++)  perm[i] = i;  do  for (int i = 0; i < k; cout << ((++i < k) ? ',' : '\n'))  cout << perm[i] + 1;  while (next_perm(perm, k, n));  delete[] perm;  return 0; } 

遞迴法

#include <bits/stdc++.h> using namespace std; struct prem {  int len;  vector<int> used, position;  function<void(vector<int>&)> action;  prem(int l = 0, function<void(vector<int>&)> a = [](vector<int>& position) {}) : len(l), used(l, -1), position(l), action(a) {}  void run(int now = -1) {  if (now == len - 1) {  action(position);  return;  }  int next = now + 1;  for (int i = 0; i < len; i++) {  if (used[i] == -1) {  used[i] = next;  position[next] = i;  run(next);  used[i] = -1;  }  }  } }; int main() {  ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);  int len = 4;  prem p(len, [&](vector<int>& p) {  for (int i = 0; i < len; i++) {  cout << p[i] << " ";  }  cout << endl;  });  p.run();  return 0; } 

python演算範例

import sys def perm(dim, num): if not 0 <= num <= dim: print('It must be that 0 <= num <= dim!', flush=True, file=sys.stderr) return [] result = [] xstack = [] arr = [] xset = set(range(dim, 0, -1)) xstack.append((arr, xset)) while len(xstack): theArr, theSet = xstack.pop() for theInt in theSet: newSet = theSet.copy() newSet.remove(theInt) newArr = theArr.copy() newArr.append(theInt) if num == len(newArr): result.append(newArr) else: xstack.append((newArr, newSet)) return result 

注释

1. 對於不排序的情形，請見條目組合。
2. 可遞置換

參考文獻

1. 組合數學 ─算法與分析─. 九章出版社. : 29.  OCLC:44527392

• Miklos Bona. "Combinatorics of Permutations", Chapman Hall-CRC, 2004. ISBN 978-1-58488-434-7.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 4: Generating All Tuples and Permutations, Fascicle 2, first printing. Addison-Wesley, 2005. ISBN 978-0-201-85393-3.
• Donald Knuth. The Art of Computer Programming, Volume 3: Sorting and Searching, Second Edition. Addison-Wesley, 1998. ISBN 978-0-201-89685-5. Section 5.1: Combinatorial Properties of Permutations, pp.11–72.

外部連結

• 許多排列組合問題，附詳解。 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）
• 置換及圖論問題 （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英文）