約化質量

在牛頓力學裏，約化質量（Reduced mass），也称作折合质量、減縮質量，是出現於二體問題的 「有效」慣性質量。這是一個因次為質量的物理量，使二體問題能夠被變換為一體問題。

假設有兩個物體，質量分別為 ${\displaystyle m_{1}\!\,}$ 與 ${\displaystyle m_{2}\!\,}$ ，環繞著兩個物體的質心運行於各自的軌道。那麼，等價的一體問題中，物體的質量就是約化質量 ${\displaystyle \mu \!\,}$ ，計算的方程式為

${\displaystyle \mu ={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{m_{1}}}+{\cfrac {1}{m_{2}}}}}={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\!\,}$ 。

這結果可以很容易地證明出來．用牛頓第二定律，物體 2 施於物體 1 的作用力，

${\displaystyle F_{12}=m_{1}a_{1}\!\,}$ 。

物體 1 施於物體 2 的作用力，

${\displaystyle F_{21}=m_{2}a_{2}\!\,}$ 。

依據牛頓第三定律，作用力與反作用力，大小相等，方向相反：

${\displaystyle F_{12}=-F_{21}\!\,}$ 。

所以，

${\displaystyle m_{1}a_{1}=-m_{2}a_{2}\!\,}$ 。

兩個物體的相對加速度為

${\displaystyle a=a_{1}-a_{2}=({1+{m_{1} \over m_{2}}})a_{1}=({{m_{2}+m_{1}} \over {m_{1}m_{2}}})m_{1}a_{1}={\cfrac {F_{12}}{\mu }}\!\,}$ 。

所以，我們總結，物體 1 的運動，相對於物體 2 ，就好似一個 質量為約化質量 的物體的運動。

• 約化質量通常用希臘字母 ${\displaystyle \mu \!\,}$ 來標記。
• 這兩個物體中，任何一個物體的質量，都大於約化質量。
• 假若物體 1 的質量超大於物體 2 的質量， ${\displaystyle m_{1}\gg m_{2}\!\,}$ ，則可以取物體 2 的質量為約化質量的近似值：${\displaystyle m_{2}\approx \mu \!\,}$ ；也可以視物體 1 為固定的，只有物體 2 在移動。

參閱

• 克卜勒定律
• 三體問題