线性近似

在数学中，线性近似就是用线性函数对普通函数进行近似。这个线性函数称为仿射函数。

在 (a, f(a)) 处的切线

例如，有一个实数变量的可导函数 f，根据 n=1 的泰勒公式

${\displaystyle f(x)=f(a)+f\ '(a)(x-a)+R_{2}}$

其中 ${\displaystyle R_{2}}$ 是余数。舍去余数就是线性近似：

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f\ '(a)(x-a)}$

当 x 无限接近于 a 的时候这个等式成立。右侧的表示是 f 在点 (a, f(a)) 处的切线，因此这个过程也叫作切线近似。

我们也可以对以向量作为变量的向量函数作线性近似，这时在该点的导数用雅可比矩阵代替。例如，一个有实数变量的可导函数 ${\displaystyle f(x,y)}$，可以用函数 ${\displaystyle f(x,y)}$ 在接近 ${\displaystyle (a,b)}$ 的 ${\displaystyle (x,y)}$ 点处的值来近似

${\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(x-a\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(y-b\right).}$

方程右侧是 ${\displaystyle z=f(x,y)}$ 在点 ${\displaystyle (a,b).}$ 处的平面切线。

在更具普遍意义的巴拿赫空间上，

${\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(x-a)}$

其中 ${\displaystyle Df(a)}$ 是函数 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle a}$ 处的 Fréchet 导数。

例子

可以通过下面的过程求得 ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}}$  的值。

1. 设函数 ${\displaystyle f(x)=x^{1/3}.\,}$  ，问题简化为求 ${\displaystyle f(25)}$  的值。
2. 可以得到

   ${\displaystyle f\ '(x)=1/3x^{-2/3}.}$ 

3. 根据线性近似

   ${\displaystyle f(25)\approx f(27)+f\ '(27)(25-27)=3-2/27.}$ 

4. 结果 2.926 非常接近于实际值 2.924