LQG控制

LQG控制（linear–quadratic–Gaussian control）的全名是線性二次高斯控制，是控制理论中的基礎最优控制問題之一。此問題和存在加性高斯白噪声的線性系統有關。此問題是要找到最佳的輸出回授律，可以讓二次費用函數的期望值最小化。其輸出量測假設受到高斯噪声的影響，其初值也是高斯隨機向量。

在「使用線性控制律」的最佳控制假設下，可以用completion-of-squares論述進行推導^[1]。此控制律即為LQG控制器，就是卡尔曼滤波（線性二次狀態估測器，LQE）和LQR控制器的結合。分離原理指出狀態估測器和狀態回授可以獨立設計。LQG控制可以應用在线性时不变系统及线性時變系統，產生容易計算以及實現的線性動態回授控制器。LQG控制器本身是一個類似其受控系統的動態系統，兩者有相同的維度。

根據分離原理，在一些範圍較寬可能是非線性的控制器中，LQG控制器仍然是最佳的。也就是說「使用非線性控制架構不一定可以改善費用泛函的期望值」。這個版本的分離原理是隨機控制的分離原理（separation principle of stochastic control）提到就算過程及輸出雜訊源可能是非高斯鞅，只要其系統動態是線性的，其最佳控制仍可以分離為最佳狀態估測器（不再是卡尔曼滤波器）及LQR控制器^[2][3]。LQR控制器也有用來控制擾動的非線性系統^[4]。

問題和解的數學描述

連續時間

考慮連續時間的線性動態系統

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t),}$ 

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+\mathbf {w} (t),}$ 

其中${\displaystyle {\mathbf {x} }}$ 是系統狀態變數的向量，${\displaystyle {\mathbf {u} }}$ 是控制輸入向量，${\displaystyle {\mathbf {y} }}$ 是輸出量測值的向量，可用在回授上。系統受到加成性的高斯系統雜訊${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ 及加成性的高斯量測雜訊${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ 所影響。給定一系統，其目標是找到一控制輸入${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)}$ ，此控制輸入在每個時間${\displaystyle {\mathbf {} }t}$ 下，和以往的量測量${\displaystyle {\mathbf {y} }(t'),0\leq t'<t}$ 有線性關係，而且此控制輸入可以讓以下的費用函數有最小值：

${\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(T)F{\mathbf {x} }(T)+\int _{0}^{T}{\mathbf {x} ^{\mathrm {T} }}(t)Q(t){\mathbf {x} }(t)+{\mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}(t)R(t){\mathbf {u} }(t)\,dt\right],}$ 

${\displaystyle F\geq 0,\quad Q(t)\geq 0,\quad R(t)>0,}$ 

其中${\displaystyle \mathbb {E} }$ 為期望值。最終時間（horizon）${\displaystyle {\mathbf {} }T}$ 可能是有限值或是無限值。若最終時間為無限，則費用函數的第一項${\displaystyle {\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(T)F{\mathbf {x} }(T)}$ 可以忽略，和問題無關。而為了要讓費用函數為有限值，會定義費用函數為${\displaystyle {\mathbf {} }J/T}$ 。

求解上述LQG問題的LQG控制器可以用以下方程表示：

${\displaystyle {\dot {\hat {\mathbf {x} }}}(t)=A(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)+B(t){\mathbf {u} }(t)+L(t)\left({\mathbf {y} }(t)-C(t){\hat {\mathbf {x} }}(t)\right),\quad {\hat {\mathbf {x} }}(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0)\right],}$ 

${\displaystyle {\mathbf {u} }(t)=-K(t){\hat {\mathbf {x} }}(t).}$ 

矩陣${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}$ 稱為卡尔曼增益（Kalman gain），和第一個方程卡尔曼滤波有關。在時間${\displaystyle {\mathbf {} }t}$ ，濾波器會根據過去量測及輸入來產生狀態${\displaystyle {\mathbf {x} }(t)}$ 的估測值${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}(t)}$ 。卡尔曼增益${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)}$ 是根據${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),C(t)}$ 、二個和白色高斯雜訊有關密度矩陣${\displaystyle \mathbf {v} (t)}$ 、${\displaystyle \mathbf {w} (t)}$ 及最後的${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right]}$ 來計算。這五個矩陣會透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定卡尔曼增益：

${\displaystyle {\dot {P}}(t)=A(t)P(t)+P(t)A^{\mathrm {T} }(t)-P(t)C^{\mathrm {T} }(t){\mathbf {} }W^{-1}(t)C(t)P(t)+V(t),}$ 

${\displaystyle P(0)=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }(0){\mathbf {x} }^{\mathrm {T} }(0)\right].}$ 

假設其解${\displaystyle P(t),0\leq t\leq T}$ ，則卡尔曼增益等於

${\displaystyle {\mathbf {} }L(t)=P(t)C^{\mathrm {T} }(t)W^{-1}(t).}$ 

矩陣${\displaystyle {\mathbf {} }K(t)}$ 稱為回授增益（feedback gain）矩陣，是由${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),Q(t),R(t)}$ 及${\displaystyle {\mathbf {} }F}$ 矩陣，透過以下的矩陣Riccati微分方程來決定

${\displaystyle -{\dot {S}}(t)=A^{\mathrm {T} }(t)S(t)+S(t)A(t)-S(t)B(t)R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t)+Q(t),}$ 

${\displaystyle {\mathbf {} }S(T)=F.}$ 

假設其解${\displaystyle {\mathbf {} }S(t),0\leq t\leq T}$ ，回授增益等於

${\displaystyle {\mathbf {} }K(t)=R^{-1}(t)B^{\mathrm {T} }(t)S(t).}$ 

觀察上述二個矩陣Riccati微分方程，第一個沿時間從前往後算，而第二個是沿時間從後往前算，這稱為「對偶性」。第一個矩陣Riccati微分方程解了線性平方估測問題（LQE），第二個矩陣Riccati微分方程解了LQR控制器問題。這二個問題是對偶的，合起來就解了線性平方高斯控制問題（LQG)，因此LQG問題分成了LQE問題以及LQR問題，且可以獨立求解，因此LQG問題是「可分離的」。

當${\displaystyle {\mathbf {} }A(t),B(t),C(t),Q(t),R(t)}$ 和雜訊密度矩陣${\displaystyle \mathbf {} V(t)}$ , ${\displaystyle \mathbf {} W(t)}$ 不隨時間變化${\displaystyle {\mathbf {} }t}$ ，且${\displaystyle {\mathbf {} }T}$ 趨於無限大時，LQG控制器會變成非時變動態系統。此時上述二個矩陣Riccati微分方程會變成代數Riccati方程。

離散時間

離散時間的LQG控制問題和連續時間下的問題相近，因此以下只關注其數學式。

離散時間的線性系統方程為

${\displaystyle {\mathbf {x} }_{i+1}=A_{i}\mathbf {x} _{i}+B_{i}\mathbf {u} _{i}+\mathbf {v} _{i},}$ 

${\displaystyle \mathbf {y} _{i}=C_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {w} _{i}.}$ 

其中${\displaystyle \mathbf {} i}$ 是離散時間，${\displaystyle \mathbf {v} _{i},\mathbf {w} _{i}}$ 是離散時間高斯白雜訊過程，其共變異數矩陣為${\displaystyle \mathbf {} V_{i},W_{i}}$ 。

要最小化的二次費用函數為

${\displaystyle J=\mathbb {E} \left[{\mathbf {x} }_{N}^{\mathrm {T} }F{\mathbf {x} }_{N}+\sum _{i=0}^{N-1}(\mathbf {x} _{i}^{\mathrm {T} }Q_{i}\mathbf {x} _{i}+\mathbf {u} _{i}^{\mathrm {T} }R_{i}\mathbf {u} _{i})\right],}$ 

${\displaystyle F\geq 0,Q_{i}\geq 0,R_{i}>0.\,}$ 

離散時間的LQG控制器為

${\displaystyle {\hat {\mathbf {x} }}_{i+1}=A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}{\mathbf {u} }_{i}+L_{i+1}\left({\mathbf {y} }_{i+1}-C_{i+1}\left\{A_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}+B_{i}u_{i}\right\}\right),{\hat {\mathbf {x} }}_{0}=\mathbb {E} [{\mathbf {x} }_{0}]}$ ,

${\displaystyle \mathbf {u} _{i}=-K_{i}{\hat {\mathbf {x} }}_{i}.\,}$ 

卡尔曼增益等於

${\displaystyle {\mathbf {} }L_{i}=P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i})^{-1},}$ 

其中${\displaystyle {\mathbf {} }P_{i}}$ 是由以下依時間往前進的矩陣Riccati差分方程所決定：

${\displaystyle P_{i+1}=A_{i}\left(P_{i}-P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }\left(C_{i}P_{i}C_{i}^{\mathrm {T} }+W_{i}\right)^{-1}C_{i}P_{i}\right)A_{i}^{\mathrm {T} }+V_{i},P_{0}=\mathbb {E} \left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)\left({\mathbf {x} }_{0}-{\hat {\mathbf {x} }}_{0}\right)^{\mathrm {T} }.}$ 

回授增益矩陣為

${\displaystyle {\mathbf {} }K_{i}=(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i})^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}A_{i}}$ 

\ 其中${\displaystyle {\mathbf {} }S_{i}}$ 是由以下時間從後往前算的矩陣Riccati差分方程所決定：

${\displaystyle S_{i}=A_{i}^{\mathrm {T} }\left(S_{i+1}-S_{i+1}B_{i}\left(B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}B_{i}+R_{i}\right)^{-1}B_{i}^{\mathrm {T} }S_{i+1}\right)A_{i}+Q_{i},\quad S_{N}=F.}$ 

若問題中所有的矩陣都是非時變的，且時間長度${\displaystyle {\mathbf {} }N}$ 趨近無窮大，則離散時間的LQG控制器就是非時變的。此時矩陣Riccati差分方程可以用離散時間的代數Riccati方程取代。可以決定非時變的離散線性二次估測器，以及非時變的離散LQR控制器。為了讓費用是有限值，會用${\displaystyle {\mathbf {} }J/N}$ 來代替${\displaystyle {\mathbf {} }J}$ 。

降階LQG問題

在傳統LQG設定中，當系統維度很大時，實現LQG控制器會有困難。降階LQG問題（reduced-order LQG problem）也稱為固定階數LQG問題（fixed-order LQG problem）先設定了LQG控制的狀態數。因為分離原理已不適用，此問題會更不容易求解，而且其解也不唯一。即使如此，降階LQG問題已有不少的數值演算法^[5][6][7][8]可以求解相關的最佳投影方程（optimal projection equations）^[9][10]，其中建構了局部最佳化的降階LQG問題的充份及必要條件^[5]。

LQG控制的強健性

LQG最佳化本身不確保有良好的強健性^[11]，需要在設計好LQG控制後，另外確認閉迴路系統的強健穩定性。為了提昇系統的強健性，可能會將一些系統參數由確定值改假設是隨機值。相關的控制問題會更加複雜，會得到一個類似的最佳控制器，只有控制器參數不同^[6]。

相關條目

• 隨機控制
• Witsenhausen反例

參考資料

1. Karl Johan Astrom. Introduction to Stochastic Control Theory 58. Academic Press. 1970. ISBN 0-486-44531-3. .
2. Anders Lindquist. On Feedback Control of Linear Stochastic Systems. SIAM Journal on Control. 1973, 11: 323––343. .
3. Tryphon T. Georgiou and Anders Lindquist. The Separation Principle in Stochastic Control, Redux. IEEE Transactions on Automatic Control. 2013, 58 (10): 2481––2494. doi:10.1109/TAC.2013.2259207. .
4. Athans M. The role and use of the stochastic Linear-Quadratic-Gaussian problem in control system design. IEEE Transaction on Automatic Control. 1971, AC–16 (6): 529–552. doi:10.1109/TAC.1971.1099818. 
5. Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Numerical algorithms and issues concerning the discrete-time optimal projection equations. European Journal of Control. 2000, 6 (1): 93–100. doi:10.1016/s0947-3580(00)70917-4.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
6. Van Willigenburg L.G.; De Koning W.L. Optimal reduced-order compensators for time-varying discrete-time systems with deterministic and white parameters. Automatica. 1999, 35: 129–138. doi:10.1016/S0005-1098(98)00138-1.  Associated software download from Matlab Central （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
7. Zigic D.; Watson L.T.; Collins E.G.; Haddad W.M.; Ying S. Homotopy methods for solving the optimal projection equations for the H2 reduced order model problem. International Journal of Control. 1996, 56 (1): 173–191. doi:10.1080/00207179208934308. 
8. Collins Jr. E.G; Haddad W.M.; Ying S. A homotopy algorithm for reduced-order dynamic compensation using the Hyland-Bernstein optimal projection equations. Journal of Guidance Control & Dynamics. 1996, 19 (2): 407–417. doi:10.2514/3.21633. 
9. Hyland D.C; Bernstein D.S. The optimal projection equations for fixed order dynamic compensation. IEEE Transaction on Automatic Control. 1984, AC–29 (11): 1034–1037. doi:10.1109/TAC.1984.1103418. 
10. Bernstein D.S.; Davis L.D.; Hyland D.C. The optimal projection equations for reduced-order discrete-time modeling estimation and control. Journal of Guidance Control and Dynamics. 1986, 9 (3): 288–293. doi:10.2514/3.20105. 
11. Green, Michael; Limebeer, David J. N. Linear Robust Control. Englewood Cliffs: Prentice Hall. 1995: 27. ISBN 0-13-102278-4. 

延伸閱讀

• Stengel, Robert F. Optimal Control and Estimation. New York: Dover. 1994. ISBN 0-486-68200-5.